Vida Media en el Decrecimiento Exponencial

La vida media, tambien llamada semivida, es el tiempo que tarda una cantidad en reducirse exactamente a la mitad cuando decrece de forma exponencial. Este concepto aparece en la desintegracion radiactiva, en la eliminacion de medicamentos en el cuerpo, en la depreciacion de ciertos materiales y en muchos otros procesos donde la cantidad restante disminuye a un ritmo proporcional a su propio valor. Antes de continuar, conviene repasar como funciona el crecimiento y decrecimiento exponencial por factor, porque la vida media es simplemente un caso particular en el que ese factor es \( \dfrac{1}{2}\).

Si \( N_0 \) es la cantidad inicial de una sustancia, \( t_{1/2} \) es su vida media y \( t \) es el tiempo transcurrido, la cantidad restante \( N(t) \) se calcula con:

\( N(t) = N_0 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}} \)

Observa que cada vez que \( t \) aumenta en una vida media completa, el exponente aumenta en 1 y la cantidad se multiplica otra vez por \( \dfrac{1}{2}\). Por eso, despues de una vida media queda la mitad de la sustancia, despues de dos vidas medias queda un cuarto, despues de tres queda un octavo, y asi sucesivamente.

Muchos procesos de decrecimiento exponencial tambien se escriben en la forma \( N(t) = N_0 e^{-kt} \), donde \( k \) es la constante de decrecimiento. Para encontrar la vida media a partir de \( k \), se resuelve \( \dfrac{1}{2} = e^{-k t_{1/2}} \). Tomando logaritmo natural en ambos lados se obtiene:

\( t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{k} \)

Esta relacion es util porque permite pasar de una forma de la ecuacion a la otra sin volver a plantear el problema desde cero. Si ya conoces como graficar funciones exponenciales, notaras que la vida media corresponde al valor de \( x \) donde la curva alcanza la mitad de su altura inicial.

La siguiente grafica muestra una cantidad inicial de 100 unidades con una vida media de 10 unidades de tiempo. Observa como la curva cruza 50 en \( t = 10 \), 25 en \( t = 20 \) y 12.5 en \( t = 30\), reduciendose siempre a la mitad en cada intervalo igual de tiempo.

Una muestra radiactiva tiene una masa inicial de 80 gramos y una vida media de 6 horas. Cuanta masa queda despues de 18 horas?

Primero se identifica \( N_0 = 80\), \( t_{1/2} = 6\) y \( t = 18\). Se sustituye en la formula:

\( N(18) = 80 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{18/6} = 80 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3} = 80 \times \dfrac{1}{8} = 10\)

Despues de 18 horas quedan 10 gramos de la muestra, lo cual tiene sentido porque 18 horas equivalen a exactamente 3 vidas medias.

Si una sustancia decrece segun \( N(t) = N_0 e^{-0.0231t} \) con \( t \) en dias, su vida media es:

\( t_{1/2} = \dfrac{\ln(2)}{0.0231} \approx 30 \)

Es decir, la sustancia tarda aproximadamente 30 dias en reducirse a la mitad de su cantidad inicial.

El concepto de vida media se usa para fechar materiales geologicos y arqueologicos, para calcular la dosis segura de medicamentos y para modelar la seguridad de residuos radiactivos. Aunque aqui el decrecimiento avanza por factores fijos de tiempo, tambien existen procesos que decrecen por porcentaje constante en cada periodo; para comparar ambos enfoques revisa crecimiento y decrecimiento exponencial por porcentaje, donde se explica la version del modelo basada en tasas porcentuales en lugar de vidas medias.

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