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ES - Calculus

math

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Ex 1.

Ex 2.

Ex 3.

Existen cuatro casos de descomposición en fracciones parciales:
 

Caso 1: El denominador es el producto de factores lineales sin repeticiones. 
Ejemplos: 

\( \large \frac{7x}{(4x\,+\,1)(3x\,-\,5)}=\frac{A}{4x\,+\,1}+\frac{B}{3x\,-\,5} \) 
\( \large \frac{5}{x(x^2\,-\,9)}=\frac{5}{x(x\,+\,3)(x\,-\,3)}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{B}{x\,+\,3}+\frac{C}{x\,-\,3}\) 

Caso 2: El denominador es el producto de factores lineales con repeticiones. 
Ejemplos: 

\( \large \frac{x\,-\,6}{(4x\,+\,1)(3x\,-\,5)^2}=\frac{A}{4x\,+\,1}+\frac{B}{3x\,-\,5}+\frac{C}{(3x\,-\,5)^2} \) 
\(\large \frac{1}{x^2(7x\,-\,4)(x\,+\,5)^3}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{B}{x^2}\,+\,\frac{C}{7x\,-\,4}+\frac{D}{x\,+\,5}+\frac{E}{(x\,+\,5)^2}\,+\,\frac{F}{(x\,+\,5)^3} \) 

Caso 3: El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles sin repeticiones. 
Ejemplos: 

\( \large \frac{8x^2}{(x\,-\,3)(x^2\,+\,x\,+\,1)}=\frac{A}{x\,-\,3}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,x\,+\,1} \) 
\( \large \frac{5}{x(x^2\,+\,9)}=\frac{A}{x}\,+\,\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,9} \) 
Caso 4: El denominador contiene factores cuadráticos irreducibles con repeticiones. 
Ejemplos: 

\( \large \frac{5x^2}{(x\,-\,3)(x^2\,+\,x\,+\,1)^2}=\frac{A}{x\,-\,3}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,x\,+\,1}\,+\,\frac{Dx\,+\,E}{(x^2\,+\,x\,+\,1\,)^2} \) 
\( \large \frac{1\,+\,x^{10}}{(x^3\,-\,8)(x^2\,+\,25)^3}=\frac{1\,+\,x^{10}}{(x\,-\,2)(x^2\,+\,2x\,+\,4)(x^2\,+\,25)^3}=\frac{A}{x\,-\,2}+\frac{Bx\,+\,C}{x^2\,+\,2x\,+\,4}+\frac{Dx\,+\,E}{x^2\,+\,25}+\frac{Fx\,+\,G}{(x^2\,+\,25)^2}\,+\,\frac{Hx\,+\,I}{(x^2\,+\,25)^3} \)
\( \)
\( \)