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Propiedades de la esperanza matemática

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Ejemplos
Lecciones
  1. Un auto viejo se descompone cada 50 horas de uso. Si el carro ha sido usado por un total de 175 horas:
    1. ¿Cuál es el valor esperado de descompuestas?
    2. ¿Cuál es la varianza de estas descompuestas?
  2. Supón que tenemos dos variables aleatorias independientes, una con parámetros de: E[X]=4E[X]=4 y Var(X)=3(X)=3, y la otra con parámetros E[Y]=9 \, E[Y]=9 y Var(Y)=6(Y)=6.
    1. ¿Cuánto es E[X+Y+2] E[X+Y+2]?
    2. ¿Cuánto es E[3X+2Y−5] E[3X+2Y-5] ?
    3. ¿Cuánto es Var(3X+2) (3X+2)?
    4. ¿Cuánto es Var(2(X+Y+1)) (2(X+Y+1)) ?
Notas del Tema
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El promedio o media se puede escribir como un valor esperado o esperanza matemática:
μ=E[X]\mu=E[X]

Y lo mismo se puede hacer con la varianza:
σ2=\sigma^2= Var(X)(X)

Donde:
nn: Número de pruebas, intentos o experimentos
xx: Número de éxitos en n experimentos
pp: Probabilidad de éxito en cada experimento

  • Distribución binomial:
    • E[X]=npE[X]=np
    • Var(X)=np(1−p)(X)=np(1-p)
  • Distribución geométrica:
    • E[X]=1pE[X]=\frac{1}{p}
    • Var(X)=1−pp2(X)=\frac{1-p}{p^2}
Propiedades de la esperanza matemática:
⋅\cdot E[X+a]=E[X]+aE[X+a]=E[X]+a
⋅\cdot E[bX]=bE[X]E[bX]=bE[X]
⋅\cdot E[X+Y]=E[X]+E[Y]E[X+Y]=E[X]+E[Y]

Generalmente hablando:
⋅\cdot E[X1+X2+⋯+Xn]=E[X1]+E[X2]+⋯+E[Xn]E[X_1+X_2+ \cdots +X_n ]=E[X_1 ]+E[X_2 ]+ \cdots +E[X_n]

Propiedades de la varianza:
⋅\cdot Var[X+a]=[X+a]= Var[X][X]
⋅\cdot Var[bX]=b2[bX]=b^2Var[X][X]
⋅\cdot Var[X+Y]=[X+Y]= Var[X]+[X]+ Var[Y][Y] si XX and YY son independientes