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Expresiones Equivalentes

Lección de matemáticas de sexto grado sobre expresiones equivalentes: qué significan, cómo comprobar si dos expresiones dan siempre el mismo resultado y cómo usar términos semejantes y la propiedad distributiva para simplificarlas.

¿Qué son las expresiones equivalentes?

Dos expresiones algebraicas son equivalentes cuando, sin importar el valor que se le asigne a la variable, ambas producen exactamente el mismo resultado. Por ejemplo, \( 2(x+3) \) y \( 2x+6 \) son equivalentes porque, al sustituir cualquier número en lugar de \(x\), el resultado siempre coincide.

Antes de trabajar con este tema es útil saber escribir expresiones con variables, ya que las expresiones equivalentes son simplemente formas distintas de escribir la misma relación matemática.

Cómo comprobar si dos expresiones son equivalentes

Una forma sencilla de verificar la equivalencia es sustituir el mismo valor numérico en ambas expresiones y comparar los resultados. Si coinciden para varios valores diferentes, es muy probable que las expresiones sean equivalentes.

Para cada valor de \(x\), ambas expresiones dan el mismo resultado.

Como los resultados coinciden para \(x=1\), \(x=2\) y \(x=3\), tenemos evidencia fuerte de que \( 2(x+3) \) y \( 2x+6 \) son equivalentes. Sin embargo, la manera más segura de estar seguro es transformar una expresión en la otra usando reglas algebraicas, no solo probar algunos números.

Usar la propiedad distributiva para encontrar expresiones equivalentes

La propiedad distributiva es una de las herramientas más comunes para generar expresiones equivalentes. Permite reescribir un producto como una suma, o una suma como un producto, sin cambiar el valor final de la expresión.

Por ejemplo, para transformar \( 3(x+4) \) en una expresión sin paréntesis, se multiplica el 3 por cada término dentro del paréntesis:

\( 3(x+4) = 3 \cdot x + 3 \cdot 4 = 3x + 12 \)

Por lo tanto, \( 3(x+4) \) y \( 3x+12 \) son expresiones equivalentes.

Combinar términos semejantes para simplificar

Otra manera de encontrar una expresión equivalente más simple es combinar términos semejantes, es decir, sumar o restar los términos que tienen la misma variable elevada a la misma potencia.

Por ejemplo:

\( 4x + 3 + 2x - 1 \)

Agrupando los términos con \(x\) y las constantes por separado:

\( (4x + 2x) + (3 - 1) = 6x + 2 \)

Entonces \( 4x + 3 + 2x - 1 \) es equivalente a \( 6x + 2 \), aunque se vean diferentes a primera vista.

Ejemplo resuelto

Determina si \( 5(x-2) + 3 \) es equivalente a \( 5x - 7 \).

Paso 1: aplica la propiedad distributiva.

\( 5(x-2) + 3 = 5x - 10 + 3 \)

Paso 2: combina los términos semejantes (las constantes).

\( 5x - 10 + 3 = 5x - 7 \)

Como el resultado final es \( 5x - 7 \), que coincide exactamente con la segunda expresión, se confirma que \( 5(x-2) + 3 \) y \( 5x - 7 \) son expresiones equivalentes.

Puntos clave para recordar

Dos expresiones son equivalentes si producen el mismo valor para cualquier número que sustituyas en la variable. Para comprobarlo con seguridad, simplifica ambas expresiones usando la propiedad distributiva y la combinación de términos semejantes, y compara si terminan siendo idénticas.

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