Líneas Paralelas y Transversales

Una transversal es una línea recta que corta a dos o más líneas en puntos diferentes. Cuando esa transversal cruza dos líneas paralelas, se forman ocho ángulos que guardan relaciones muy predecibles entre sí. Antes de continuar, conviene repasar cómo se clasifican los pares de líneas y ángulos, ya que esos nombres (adyacentes, verticales, complementarios, suplementarios) se usan constantemente al describir lo que ocurre en una transversal.

En el siguiente diagrama, las líneas \(l\) y \(m\) son paralelas y la línea \(t\) es la transversal. Los ocho ángulos formados se numeran del 1 al 8, cuatro en cada punto de intersección.

Al analizar el diagrama anterior se distinguen varios pares de ángulos:

• Ángulos correspondientes: ocupan la misma posición relativa en cada intersección, por ejemplo \( \angle 1 \) y \( \angle 5 \), o \( \angle 4 \) y \( \angle 8 \).
• Ángulos alternos internos: están entre las dos líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, como \( \angle 3 \) y \( \angle 6 \), o \( \angle 4 \) y \( \angle 5 \).
• Ángulos alternos externos: están fuera de las dos líneas paralelas, en lados opuestos de la transversal, como \( \angle 1 \) y \( \angle 8 \), o \( \angle 2 \) y \( \angle 7 \).
• Ángulos colaterales internos (o co-internos): están entre las dos líneas paralelas, en el mismo lado de la transversal, como \( \angle 3 \) y \( \angle 5 \), o \( \angle 4 \) y \( \angle 6 \).
• Ángulos verticales: se forman en cada intersección al cruzarse dos líneas, como \( \angle 1 \) y \( \angle 3 \).

Cuando las líneas \(l\) y \(m\) son paralelas, se cumplen las siguientes relaciones:

• Postulado de ángulos correspondientes: los ángulos correspondientes son congruentes, es decir \( \angle 1 \cong \angle 5 \).
• Teorema de ángulos alternos internos: \( \angle 3 \cong \angle 6 \) y \( \angle 4 \cong \angle 5 \).
• Teorema de ángulos alternos externos: \( \angle 1 \cong \angle 8 \) y \( \angle 2 \cong \angle 7 \).
• Teorema de ángulos colaterales internos: son suplementarios, es decir \( \angle 3 + \angle 5 = 180^\circ \) y \( \angle 4 + \angle 6 = 180^\circ \).

Estas relaciones también funcionan al revés: si se demuestra que un par de ángulos correspondientes es congruente, entonces las líneas cortadas por la transversal deben ser paralelas. Ese razonamiento inverso es justamente la base de las pruebas con líneas paralelas, donde se usan estos teoremas para justificar, paso a paso, que dos líneas son paralelas.

Si la transversal corta a las líneas paralelas formando un ángulo de \(90^\circ\), todos los ocho ángulos formados miden \(90^\circ\). Este caso particular, junto con las demostraciones que involucran ángulos rectos, se estudia con más detalle en pruebas con líneas perpendiculares.

Las líneas \(l\) y \(m\) son paralelas y la transversal \(t\) las corta. Si \( \angle 1 = 70^\circ \), encuentra las medidas de \( \angle 3 \), \( \angle 5 \) y \( \angle 4 \).

Ángulo 3: \( \angle 1 \) y \( \angle 3 \) son ángulos verticales, así que \( \angle 3 = \angle 1 = 70^\circ \).

Ángulo 5: \( \angle 1 \) y \( \angle 5 \) son ángulos correspondientes, así que \( \angle 5 = \angle 1 = 70^\circ \).

Ángulo 4: \( \angle 4 \) y \( \angle 5 \) son colaterales internos, por lo tanto son suplementarios: \( \angle 4 + \angle 5 = 180^\circ \), entonces \( \angle 4 = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \).

Con solo un ángulo conocido y estas relaciones, es posible determinar los ocho ángulos formados por la transversal.

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