Regla de la Multiplicación para Eventos "Y" en Probabilidad

En probabilidad, muchas preguntas piden la probabilidad de que ocurran dos eventos a la vez: "¿cuál es la probabilidad de sacar cara en una moneda Y un 6 en un dado?". Cada vez que un problema une dos eventos con la palabra "y", se está pidiendo la probabilidad de la intersección de ambos eventos, escrita como \( P(A \cap B) \). Para calcular esta probabilidad se usa la regla de la multiplicación, también llamada regla del producto.

La fórmula exacta depende de si los eventos son independientes o dependientes, así que antes de aplicar la regla conviene repasar la introducción a probabilidad y la idea de eventos individuales.

Dos eventos son independientes cuando el resultado de uno no cambia la probabilidad del otro (por ejemplo, lanzar una moneda y lanzar un dado). En ese caso, la regla de la multiplicación dice:

\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \)

Esta es la misma idea que se estudia en probabilidad de eventos independientes, donde se profundiza en cómo reconocer la independencia entre eventos.

Ejemplo: se lanza una moneda y un dado de seis caras. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara Y un 6?

La probabilidad de cara es \( P(A) = \dfrac{1}{2} \) y la probabilidad de sacar un 6 es \( P(B) = \dfrac{1}{6} \). Como los eventos son independientes:

\( P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{12} \)

Cuando el primer evento cambia la probabilidad del segundo, los eventos son dependientes. En este caso hay que usar la probabilidad condicional \( P(B \mid A) \), que significa "la probabilidad de B dado que A ya ocurrió". La regla general de la multiplicación queda así:

\( P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A) \)

Nota que esta fórmula funciona siempre, incluso para eventos independientes, porque cuando A y B son independientes se cumple que \( P(B \mid A) = P(B) \), y la fórmula se reduce al caso anterior.

Una bolsa contiene 4 canicas rojas y 3 canicas azules. Se saca una canica, no se regresa a la bolsa, y luego se saca una segunda canica. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean rojas?

La probabilidad de que la primera sea roja es \( P(A) = \dfrac{4}{7} \). Como no se regresa la canica, en la bolsa quedan 6 canicas, de las cuales 3 son rojas, así que \( P(B \mid A) = \dfrac{3}{6} \). Aplicando la regla:

\( P(A \cap B) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7} \)

Un diagrama de árbol ayuda a organizar las ramas de cada evento y a multiplicar las probabilidades a lo largo de cada camino, algo muy parecido a organizar resultados de un experimento.

Es fácil confundir la regla de la multiplicación con la regla que se usa para la palabra "o". Mientras que "y" pide la probabilidad de que ambos eventos sucedan (y se multiplica), "o" pide la probabilidad de que suceda al menos uno de los eventos, lo cual se calcula con la regla de la suma de probabilidades. Reconocer esta diferencia es clave para elegir la fórmula correcta en cada problema.

Antes de aplicar la fórmula, siempre pregúntate: ¿el segundo evento depende del primero? Si la respuesta es no, multiplica las probabilidades individuales directamente. Si la respuesta es sí, ajusta la probabilidad del segundo evento usando la información de que el primero ya ocurrió, y luego multiplica.

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