Distribución Geométrica

La distribución geométrica es un modelo de probabilidad discreta que describe el número de ensayos independientes necesarios hasta que ocurre el primer éxito. Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles (éxito o fracaso) y la probabilidad de éxito, llamada \(p\), se mantiene constante en todos los ensayos. Este tipo de experimento es muy parecido al que se estudia en la distribución binomial, con la diferencia clave de que en la distribución geométrica el número de ensayos no está fijo de antemano: se repite el experimento hasta lograr el primer éxito, sin importar cuántos intentos haga falta.

Algunos ejemplos típicos son: lanzar una moneda hasta obtener la primera cara, lanzar un dado hasta obtener el primer seis, o revisar productos en una línea de producción hasta encontrar el primer defectuoso.

Si \(X\) representa el número de ensayos necesarios hasta el primer éxito, y \(p\) es la probabilidad de éxito en cada ensayo, la función de probabilidad es:

\( P(X=k) = (1-p)^{k-1} \, p \), para \(k = 1, 2, 3, \ldots\)

Aquí \(k\) es el número del ensayo en el que ocurre el primer éxito, y \((1-p)\) es la probabilidad de fracaso en cada intento previo. Es decir, para que el primer éxito ocurra exactamente en el ensayo \(k\), deben fallar los primeros \(k-1\) intentos y tener éxito en el ensayo número \(k\).

También es útil la función de distribución acumulada, que da la probabilidad de que el primer éxito ocurra en el ensayo \(k\) o antes:

\( P(X \le k) = 1 - (1-p)^k \)

La media (valor esperado) y la varianza de una distribución geométrica dependen únicamente de \(p\):

\( \mu = \dfrac{1}{p} \)

\( \sigma^2 = \dfrac{1-p}{p^2} \)

La media indica, en promedio, cuántos ensayos se necesitan para obtener el primer éxito. Por ejemplo, si la probabilidad de éxito en cada intento es \(p = 0.25\), se esperan en promedio \( \mu = \dfrac{1}{0.25} = 4 \) ensayos hasta el primer éxito.

Una característica particular de la distribución geométrica es que no tiene memoria: la probabilidad de necesitar más ensayos para lograr el éxito no depende de cuántos ensayos fallidos ya se hayan realizado. En otras palabras, si ya se fallaron varios intentos, la probabilidad de éxito en el siguiente ensayo sigue siendo la misma \(p\) de siempre.

Supón que la probabilidad de que un tirador anote un blanco es \(p = 0.3\) en cada disparo. ¿Cuál es la probabilidad de que el primer acierto ocurra exactamente en el tercer disparo?

Usando la fórmula: \( P(X=3) = (1-0.3)^{3-1} (0.3) = (0.7)^2 (0.3) = 0.147 \)

Es decir, hay una probabilidad de 0.147 (14.7 por ciento) de que el primer acierto ocurra justo en el tercer intento. La gráfica siguiente muestra cómo disminuye esta probabilidad a medida que aumenta el número de ensayo, ya que cada fracaso adicional reduce las posibilidades acumuladas de que el éxito se retrase tanto.

La distribución geométrica es un caso particular de la distribución binomial negativa, que generaliza el problema al número de ensayos necesarios para obtener un número fijo de éxitos, no solo el primero. También conviene distinguirla de la distribución hipergeométrica, que se usa cuando los ensayos no son independientes porque se muestrea sin reemplazo de una población finita. Elegir el modelo correcto depende de si el número de ensayos es fijo o variable, y de si la probabilidad de éxito permanece constante.

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