Notación Factorial

La notación factorial es una forma abreviada de escribir el producto de todos los números enteros positivos desde un número dado hasta 1. Aparece constantemente en estadística cuando contamos formas de ordenar o agrupar objetos, así que entenderla bien es la base para temas como el principio fundamental de conteo, las permutaciones y las combinaciones.

El factorial de un número entero no negativo \( n \) se escribe como \( n! \) (se lee "n factorial") y se define como el producto de todos los enteros positivos desde \( n \) hasta 1:

\( n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \)

Por ejemplo, si queremos saber cuántas formas hay de ordenar 5 libros distintos en un estante, el resultado es exactamente \( 5! \), porque hay 5 opciones para el primer lugar, 4 para el segundo, y así sucesivamente hasta llegar a 1.

Para calcular un factorial basta con multiplicar en orden descendente desde \( n \) hasta 1. Algunos valores útiles para memorizar son:

• \( 1! = 1 \)
• \( 2! = 2 \times 1 = 2 \)
• \( 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \)
• \( 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \)
• \( 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120 \)

Nota cómo los factoriales crecen muy rápido: \( 6! = 720 \), \( 7! = 5040 \), y \( 10! \) ya supera los 3 millones. Por eso, en la práctica casi nunca se calcula un factorial grande multiplicando todo desde cero, sino que se simplifica antes de multiplicar.

Por convención matemática, \( 0! = 1 \). Esto no se obtiene multiplicando nada, sino que se define así para que las fórmulas de conteo (como las de permutaciones y combinaciones) sigan funcionando correctamente incluso cuando no queda ningún elemento por ordenar. Es un detalle que se olvida con facilidad, así que vale la pena memorizarlo como una regla fija.

Como un factorial es un producto acumulado, muchas veces conviene escribir el factorial más grande en función del más pequeño en lugar de calcular ambos por separado. Por ejemplo:

\( \dfrac{7!}{5!} = \dfrac{7 \times 6 \times 5!}{5!} = 7 \times 6 = 42 \)

Aquí el término \( 5! \) se cancela porque aparece tanto arriba como abajo, dejando solo los factores adicionales de \( 7! \). Esta técnica es esencial cuando se trabaja con fórmulas que combinan varios factoriales, como ocurre al comparar permutaciones y combinaciones.

La notación factorial es la pieza clave detrás de las fórmulas de conteo más usadas en estadística. El número de formas de ordenar \( n \) elementos distintos en fila es \( n! \), y esta misma idea se extiende para calcular:

• El número de permutaciones de \( r \) elementos tomados de un grupo de \( n \), con la fórmula \( P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \).
• El número de combinaciones de \( r \) elementos tomados de un grupo de \( n \), con la fórmula \( C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \).

Sin dominar primero la notación factorial y cómo simplificarla, estas fórmulas resultan mucho más difíciles de aplicar con confianza.

Simplifica la expresión \( \dfrac{8!}{3! \times 5!} \).

Escribimos \( 8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5! \), así que:

\( \dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{3! \times 5!} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \dfrac{336}{6} = 56 \)

Este tipo de simplificación es exactamente lo que se usa al calcular combinaciones, ya que \( C(8,3) = \dfrac{8!}{3!\,5!} = 56 \).

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