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Ecuaciones con Propiedad Distributiva: a(x + b) = c

Guia paso a paso para resolver ecuaciones lineales con propiedad distributiva del tipo a(x + b) = c: como distribuir, combinar terminos y despejar x, con ejemplos resueltos y errores comunes.

Introduction

Cuando una ecuacion lineal tiene la forma \( a(x + b) = c \), la variable esta "encerrada" dentro de un parentesis multiplicado por un numero. Para resolverla, el primer paso siempre es aplicar la propiedad distributiva y liberar la variable antes de despejarla, tal como se hace en cualquier ecuacion lineal.

Que es la propiedad distributiva en ecuaciones lineales

La propiedad distributiva dice que multiplicar un numero por una suma (o resta) dentro de un parentesis es lo mismo que multiplicar ese numero por cada termino de adentro por separado:

\( a(x + b) = ax + ab \)

Esta propiedad es la herramienta clave para transformar una ecuacion con parentesis en una ecuacion lineal simple, del tipo \( ax + ab = c \), que ya se puede resolver con operaciones inversas.

Modelo de area: el rectangulo a(x + b) se divide en dos partes, ax y ab.

Pasos para resolver a(x + b) = c

Sigue este procedimiento cada vez que veas una ecuacion lineal con un factor fuera del parentesis:

Distribuye el factor \( a \) sobre cada termino dentro del parentesis: \( a(x + b) = ax + ab \).
Combina terminos semejantes si los hay en ambos lados de la ecuacion.
Suma o resta el termino constante \( ab \) en ambos lados para dejar el termino con \( x \) solo.
Divide entre el coeficiente de \( x \) para despejarla por completo.
Comprueba la solucion sustituyendola en la ecuacion original, antes de distribuir.

Ejemplo 1: coeficiente positivo

Resuelve \( 3(x + 2) = 15 \).

Distribuyendo el 3: \( 3x + 6 = 15 \).

Restando 6 en ambos lados: \( 3x = 9 \).

Dividiendo entre 3: \( x = 3 \).

Comprobacion: \( 3(3 + 2) = 3(5) = 15 \). La solucion es correcta.

Ejemplo 2: factor negativo

Resuelve \( -2(x - 4) = 10 \).

Aqui el factor es negativo, asi que hay que distribuirlo con cuidado en el signo de cada termino: \( -2x + 8 = 10 \).

Restando 8 en ambos lados: \( -2x = 2 \).

Dividiendo entre \( -2 \): \( x = -1 \).

Comprobacion: \( -2(-1 - 4) = -2(-5) = 10 \). La solucion es correcta.

Errores comunes al usar la propiedad distributiva

Olvidar distribuir el signo negativo cuando \( a \) es negativo, lo que cambia el signo de \( b \).
Dividir entre \( a \) antes de distribuir, lo cual solo funciona si \( c \) tambien se divide correctamente entre \( a \) y no simplifica la ecuacion como se espera.
Distribuir solo el primer termino dentro del parentesis y olvidar el segundo.
No comprobar la solucion sustituyendola en la ecuacion original.

Este metodo distributivo tambien es la base para resolver ecuaciones con parentesis en ambos lados o con mas de un termino, e incluso se relaciona con el trabajo posterior en ecuaciones no lineales, donde el mismo principio de simplificar antes de despejar sigue siendo esencial.

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