Triángulos Semejantes

Dos triángulos son semejantes cuando tienen exactamente la misma forma, aunque no necesariamente el mismo tamaño. Esto ocurre cuando sus ángulos correspondientes son congruentes (miden lo mismo) y sus lados correspondientes son proporcionales, es decir, guardan siempre la misma razón entre sí. Si el triángulo \(ABC\) es semejante al triángulo \(DEF\), se escribe \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \).

La semejanza de triángulos es un caso particular de la semejanza de polígonos, pero como el triángulo es la figura más simple, existen criterios cortos que permiten demostrar la semejanza sin comprobar los tres ángulos y los tres lados.

Para afirmar que dos triángulos son semejantes no hace falta verificar los tres ángulos y los tres lados; basta con comprobar uno de estos tres criterios.

Criterio AA (Ángulo-Ángulo)

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes con dos ángulos de otro triángulo, entonces los triángulos son semejantes. Como la suma de los ángulos internos siempre es \(180^\circ\), el tercer par de ángulos también resulta congruente automáticamente.

Criterio LLL (Lado-Lado-Lado)

Si las tres parejas de lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales, los triángulos son semejantes. Esto se comprueba verificando que:

\( \dfrac{a}{d} = \dfrac{b}{e} = \dfrac{c}{f} \)

donde \(a, b, c\) son los lados de un triángulo y \(d, e, f\) son los lados correspondientes del otro.

Criterio LAL (Lado-Ángulo-Lado)

Si un ángulo de un triángulo es congruente con un ángulo de otro triángulo, y los lados que forman ese ángulo son proporcionales, entonces los triángulos son semejantes:

\( \dfrac{a}{d} = \dfrac{c}{f} \quad \)y\( \quad \angle B \cong \angle E \)

La razón de semejanza, \(k\), es el número por el cual se multiplican los lados de un triángulo para obtener los lados del triángulo semejante. Es la misma idea que se usa al trabajar con ampliaciones y reducciones con factores de escala: si \(k > 1\) el segundo triángulo es una ampliación, y si \(0 < k < 1\) es una reducción.

Una vez identificada la razón de semejanza, se puede plantear una proporción para encontrar un lado desconocido, de forma similar a como se resuelven los diagramas de escalas.

Los triángulos \(PQR\) y \(STU\) son semejantes, con \(PQ = 4\), \(QR = 6\), \(PR = 8\) y \(ST = 8\). Encuentra \(TU\) y \(SU\).

Primero se calcula la razón de semejanza comparando el par de lados conocidos:

\( k = \dfrac{ST}{PQ} = \dfrac{8}{4} = 2 \)

Como la razón de semejanza es \(2\), cada lado de \(STU\) mide el doble del lado correspondiente de \(PQR\):

\( TU = k \times QR = 2 \times 6 = 12 \)

\( SU = k \times PR = 2 \times 8 = 16 \)

Por lo tanto, \(TU = 12\) y \(SU = 16\).

Los triángulos semejantes permiten calcular distancias y alturas que no se pueden medir directamente, como la altura de un edificio o de un árbol, comparando la longitud de su sombra con la sombra de un objeto de altura conocida. También son la base de la trigonometría, ya que las razones entre lados de triángulos rectángulos semejantes son siempre las mismas para un ángulo dado.

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