Circunferencia Goniométrica (Círculo Unitario)

La circunferencia goniométrica es una circunferencia de radio \( r = 1 \) cuyo centro coincide con el origen de un sistema de coordenadas cartesianas. También se le conoce como círculo unitario o círculo trigonométrico: son tres nombres distintos para la misma herramienta. Su utilidad principal es servir de base para definir el seno, el coseno y la tangente de cualquier ángulo, sin importar cuán grande sea o si es negativo.

Todo ángulo \( \theta \) se mide a partir del eje positivo de las x, girando en sentido contrario a las agujas del reloj cuando \( \theta \) es positivo, y en sentido horario cuando \( \theta \) es negativo. El punto donde el lado final del ángulo corta la circunferencia es el que da la información trigonométrica que buscamos.

Si \( P \) es el punto donde el lado final de \( \theta \) corta la circunferencia goniométrica, entonces:

\( x = \cos\theta \)    \( y = \sin\theta \)

Como el radio es 1, la distancia de \( P \) al origen siempre cumple \( x^2 + y^2 = 1 \), es decir, \( \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \). Esta es la identidad pitagórica fundamental de la trigonometría, y aparece de forma natural en cuanto se define el círculo unitario.

La tangente se obtiene dividiendo la coordenada y entre la coordenada x del mismo punto, siempre que \( \cos\theta \ne 0 \):

\( \tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \)

Cuando \( \cos\theta = 0 \) (en \( 90^\circ \) y \( 270^\circ \)), la tangente no está definida porque el punto cae exactamente sobre el eje y.

El signo de \( \cos\theta \) depende de si el punto \( P \) está a la derecha o a la izquierda del eje y, y el signo de \( \sin\theta \) depende de si está arriba o abajo del eje x. Esto da la siguiente distribución:

• Cuadrante I (\( 0^\circ \) a \( 90^\circ \)): \( \sin\theta > 0 \), \( \cos\theta > 0 \), \( \tan\theta > 0 \).
• Cuadrante II (\( 90^\circ \) a \( 180^\circ \)): \( \sin\theta > 0 \), \( \cos\theta < 0 \), \( \tan\theta < 0 \).
• Cuadrante III (\( 180^\circ \) a \( 270^\circ \)): \( \sin\theta < 0 \), \( \cos\theta < 0 \), \( \tan\theta > 0 \).
• Cuadrante IV (\( 270^\circ \) a \( 360^\circ \)): \( \sin\theta < 0 \), \( \cos\theta > 0 \), \( \tan\theta < 0 \).

Memorizar este patrón de signos es clave para verificar rápidamente si un resultado tiene sentido, sin necesidad de calcular todo desde cero.

Ciertos ángulos aparecen tan seguido en los ejercicios que conviene memorizar sus valores exactos de seno, coseno y tangente.

Ejemplo 1: Encuentra \( \sin 210^\circ \), \( \cos 210^\circ \) y \( \tan 210^\circ \).

El ángulo \( 210^\circ \) está en el cuadrante III, porque \( 180^\circ < 210^\circ < 270^\circ \). Su ángulo de referencia respecto al eje x es \( 210^\circ - 180^\circ = 30^\circ \). Usando los valores de \( 30^\circ \) y aplicando los signos del cuadrante III (seno y coseno negativos, tangente positiva):

\( \sin 210^\circ = -\dfrac{1}{2} \)    \( \cos 210^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \)    \( \tan 210^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \)

Ejemplo 2: Encuentra \( \sin\dfrac{3\pi}{4} \), \( \cos\dfrac{3\pi}{4} \) y \( \tan\dfrac{3\pi}{4} \).

Como \( \dfrac{3\pi}{4} \) equivale a \( 135^\circ \), el punto está en el cuadrante II. El ángulo de referencia es \( 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \). En el cuadrante II el seno es positivo y el coseno es negativo:

\( \sin\dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \)    \( \cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} \)    \( \tan\dfrac{3\pi}{4} = -1 \)

Sí. En distintos libros y regiones se usa "círculo unitario", "círculo trigonométrico" o "circunferencia goniométrica" para referirse exactamente al mismo concepto: una circunferencia de radio 1 centrada en el origen que sirve para definir el seno y el coseno de cualquier ángulo mediante las coordenadas de un punto. No importa qué nombre encuentres en un texto o examen, la definición, la tabla de ángulos notables y las reglas de signo por cuadrante son las mismas.