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Resolviendo sistemas de ecuaciones de tres variables con el método de sustitución

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Resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas por sustitucion

Guia para resolver un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas usando el metodo de sustitucion, con pasos ordenados, un ejemplo completo y los errores mas comunes al despejar variables.

Que es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas

Un sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas es un conjunto de tres ecuaciones lineales que comparten las mismas tres variables, generalmente escritas como \(x\), \(y\) y \(z\). Cada ecuacion tiene la forma \( ax + by + cz = d \), y la solucion del sistema es el unico punto \( (x, y, z) \) que satisface las tres ecuaciones al mismo tiempo.

Este tipo de sistema aparece cuando un problema tiene tres cantidades desconocidas relacionadas entre si, algo comun en los problemas razonados con ecuaciones lineales. Si ya conoces como plantear una ecuacion a partir de un enunciado, puedes revisar como se hace con numeros desconocidos con ecuaciones lineales antes de avanzar aqui, ya que la logica para plantear cada ecuacion es la misma, solo que ahora hay tres incognitas en juego.

El metodo de sustitucion consiste en despejar una variable en una de las ecuaciones y remplazarla en las otras dos. Esto elimina esa variable de dos de las tres ecuaciones y convierte el problema en un sistema mas simple de 2 ecuaciones con 2 incognitas, el cual ya sabes resolver. Una vez resuelto ese sistema reducido, se sustituyen los valores obtenidos en la expresion original para encontrar la tercera variable.

Este metodo funciona muy bien cuando alguna de las ecuaciones ya tiene una variable despejada o facil de despejar (por ejemplo, cuando su coeficiente es 1). Si en cambio los coeficientes son mas complicados, muchas veces conviene comparar con el metodo de eliminacion para resolver sistemas de ecuaciones, que suma o resta ecuaciones directamente en lugar de despejar.

Para resolver cualquier sistema de 3 ecuaciones con 3 incognitas por sustitucion, sigue este orden:

  1. Elige la ecuacion mas sencilla y despeja una variable en funcion de las otras dos.
  2. Sustituye esa expresion en las otras dos ecuaciones, obteniendo un sistema de solo dos variables.
  3. Resuelve el sistema de dos ecuaciones con dos incognitas resultante.
  4. Sustituye los dos valores encontrados en la expresion del paso 1 para hallar la tercera variable.
  5. Verifica los tres valores en las tres ecuaciones originales.

Resuelve el siguiente sistema:

\( x + y + z = 6 \)

\( x - y + z = 2 \)

\( x + y - z = 0 \)

Paso 1. La primera ecuacion es facil de despejar. Despejamos \(z\):

\( z = 6 - x - y \)

Paso 2. Sustituimos esta expresion en la segunda ecuacion:

\( x - y + (6 - x - y) = 2 \)

\( -2y + 6 = 2 \)

\( y = 2 \)

Paso 3. Sustituimos \( z = 6 - x - y \) en la tercera ecuacion, usando ya el valor \( y = 2 \):

\( x + 2 - (6 - x - 2) = 0 \)

\( x + 2 - 4 + x = 0 \)

\( 2x - 2 = 0 \)

\( x = 1 \)

Paso 4. Con \( x = 1 \) y \( y = 2 \), regresamos a la expresion del paso 1:

\( z = 6 - 1 - 2 = 3 \)

Paso 5. Verificamos en las tres ecuaciones originales:

\( 1 + 2 + 3 = 6 \) ✓

\( 1 - 2 + 3 = 2 \) ✓

\( 1 + 2 - 3 = 0 \) ✓

La solucion del sistema es \( (x, y, z) = (1, 2, 3) \).

Despejar una variable Sustituir en las otras dos ecuaciones Resolver sistema de 2 variables Sustituir hacia atras para la 3a variable Verificar en las 3 ecuaciones
Flujo de pasos del metodo de sustitucion en un sistema de tres variables

Al resolver este tipo de sistema, revisa siempre estos puntos:

  • Olvidar sustituir la expresion despejada en ambas ecuaciones restantes, no solo en una.
  • Confundir signos al distribuir un parentesis negativo, como en \( -(6-x-y) \).
  • Detenerse despues de encontrar solo dos de las tres variables.
  • No verificar la solucion final en las tres ecuaciones originales, lo que permite detectar errores de calculo.

La sustitucion es ideal cuando una ecuacion ya tiene una variable con coeficiente 1 o facil de despejar. Si las tres ecuaciones tienen coeficientes grandes o poco practicos para despejar, suele ser mas rapido usar el metodo grafico para resolver sistemas de ecuaciones lineales en casos de dos variables, o extender la eliminacion, que evita despejar fracciones innecesarias. Con practica, aprenderas a elegir el metodo mas conveniente segun la forma del sistema.

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