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Función Cuadrática en Forma Canónica

Explica qué es la forma canónica de una función cuadrática, cómo identificar el vértice (h, k) y el eje de simetría, y cómo graficar la parábola paso a paso con un ejemplo resuelto y su relación con la forma general.

¿Qué es la forma canónica de una función cuadrática?

La forma canónica (también llamada forma de vértice) de una función cuadrática se escribe como \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), donde \(a\), \(h\) y \(k\) son números reales y \(a \ne 0\). Esta forma es muy útil porque muestra de inmediato el vértice de la parábola, sin necesidad de hacer cálculos adicionales.

El vértice y el eje de simetría

En la ecuación \( f(x) = a(x - h)^2 + k \), el vértice de la parábola es el punto \( (h, k) \). Ten cuidado con el signo dentro del paréntesis: como la expresión es \( x - h \), si la ecuación muestra \( x + 3 \), en realidad \( h = -3 \). El eje de simetría es la recta vertical \( x = h \), que divide la parábola en dos mitades idénticas.

El valor de \(a\) controla la abertura y la dirección de la parábola. Si \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba y \(k\) es el valor mínimo de la función. Si \( a < 0 \), abre hacia abajo y \(k\) es el valor máximo. Cuanto mayor es el valor absoluto de \(a\), más angosta se ve la parábola; cuanto más cercano a cero, más ancha.

Cómo graficar a partir de la forma canónica

Para trazar la gráfica basta con seguir estos pasos:

Identifica \(a\), \(h\) y \(k\) directamente en la ecuación.
Marca el vértice \( (h, k) \) en el plano.
Dibuja el eje de simetría \( x = h \) como referencia.
Calcula uno o dos puntos adicionales sustituyendo valores de \(x\) cercanos a \(h\), y usa la simetría para reflejar esos puntos al otro lado del eje.

Ejemplo resuelto

Considera la función \( f(x) = 2(x - 3)^2 - 4 \). Aquí \( a = 2 \), \( h = 3 \) y \( k = -4 \), por lo que el vértice es \( (3, -4) \) y el eje de simetría es \( x = 3 \). Como \( a > 0 \), la parábola abre hacia arriba y \(-4\) es el valor mínimo de la función.

Si evaluamos en \( x = 4 \): \( f(4) = 2(4-3)^2 - 4 = 2(1) - 4 = -2 \). Por simetría, en \( x = 2 \) el valor también es \( -2 \).

Gráfica de \( f(x) = 2(x-3)^2 - 4 \), con vértice en \( (3, -4) \) y eje de simetría \( x = 3 \).

Relación con la forma polinómica (general)

La forma canónica no es la única manera de escribir una función cuadrática. También existe la forma polinómica de una función cuadrática, escrita como \( f(x) = ax^2 + bx + c \). Para pasar de la forma general a la canónica se completa el cuadrado, agrupando los términos con \(x\) y sumando y restando el mismo valor para formar un trinomio cuadrado perfecto. El resultado siempre coincide: el mismo valor de \(a\), y \( h = -\dfrac{b}{2a} \).

Por qué conviene usar la forma canónica

Cuando un problema pide el valor máximo o mínimo de una función cuadrática, el vértice o el eje de simetría, la forma canónica ahorra pasos porque esa información ya está a la vista. Además, facilita comparar transformaciones: desplazamientos horizontales controlados por \(h\), desplazamientos verticales controlados por \(k\), y estiramientos o reflexiones controlados por \(a\). Para repasar otros rasgos importantes, como el dominio, el rango y los interceptos, consulta las características de las funciones cuadráticas.

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