Permutación vs Combinación

Tanto la permutación como la combinación sirven para contar cuántas formas distintas existen de elegir o acomodar un grupo de elementos, pero la pregunta que decide cuál usar es siempre la misma: ¿importa el orden? Si cambiar el orden de los elementos produce un resultado diferente, estamos ante una permutación. Si el orden no cambia nada porque solo interesa qué elementos quedaron seleccionados, estamos ante una combinación.

Antes de comparar las dos fórmulas conviene tener claro el concepto de notación factorial, ya que ambas fórmulas dependen de \( n! \).

Una permutación cuenta el número de arreglos posibles de \(r\) elementos tomados de un conjunto de \(n\) elementos, donde cada orden distinto se considera un resultado diferente. La fórmula es:

\( P(n,r) = \dfrac{n!}{(n-r)!} \)

Por ejemplo, si tres personas van a ocupar el primer, segundo y tercer lugar de una carrera, el orden en que terminan sí importa: llegar primero no es lo mismo que llegar tercero. Este tipo de problema se explica con más detalle en permutaciones.

Una combinación cuenta el número de formas de elegir \(r\) elementos de un conjunto de \(n\) elementos sin que el orden de selección tenga relevancia. La fórmula es:

\( C(n,r) = \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \)

Por ejemplo, si se eligen tres nombres de un grupo para formar un comité, no importa en qué orden se eligieron: el comité final es el mismo grupo de personas. Este caso se desarrolla en la lección de combinaciones.

Nota que la fórmula de combinación es igual a la de permutación dividida entre \( r! \), porque cada grupo de \(r\) elementos puede acomodarse de \( r! \) formas distintas, y todas esas formas cuentan como una sola combinación.

Antes de resolver un problema de conteo, hazte esta pregunta: si intercambiara dos elementos de lugar, ¿el resultado se consideraría diferente? Si la respuesta es sí, usa permutación. Si la respuesta es no, usa combinación. Palabras como "orden", "acomodar", "fila" o "código" suelen indicar permutación, mientras que palabras como "grupo", "equipo", "selección" o "muestra" suelen indicar combinación.

Este criterio también es útil cuando el conteo involucra varias etapas independientes, como en el principio fundamental de conteo, donde primero se decide si cada etapa individual necesita orden o no antes de combinar los resultados.

Supón que hay 5 estudiantes y se necesitan elegir 2 de ellos.

Si los 2 elegidos van a ocupar los puestos de presidente y vicepresidente (el orden importa, porque presidente y vicepresidente son roles distintos):

\( P(5,2) = \dfrac{5!}{(5-2)!} = \dfrac{5!}{3!} = 20 \)

Si los 2 elegidos solo van a representar al grupo sin roles distintos (el orden no importa):

\( C(5,2) = \dfrac{5!}{2!(5-2)!} = \dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10 \)

Observa que el resultado de la permutación es exactamente el doble del de la combinación, porque cada pareja de estudiantes puede acomodarse en 2 órdenes distintos ( \( 2! = 2 \) ), y esos dos órdenes se cuentan por separado solo en la permutación.

Muchos problemas reales requieren combinar los dos conceptos: primero se elige un grupo sin importar el orden y luego, dentro de ese grupo, se acomoda algo donde el orden sí importa. Para practicar este tipo de situaciones combinadas revisa la lección sobre problemas acerca de permutaciones y combinaciones.

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