Teorema de Coseno (Ley de Cosenos)

El teorema de coseno, tambien conocido como ley de cosenos, es una formula que relaciona los tres lados de un triangulo con el coseno de uno de sus angulos. Es especialmente util cuando el triangulo no es rectangulo, ya que el teorema de Pitagoras solo funciona en ese caso particular. El teorema de coseno funciona para cualquier triangulo, sin importar sus angulos.

Para un triangulo con lados \(a\), \(b\) y \(c\), y angulos opuestos \(A\), \(B\) y \(C\) respectivamente, la formula se puede escribir de tres maneras equivalentes:

\( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos(A) \)

\( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos(B) \)

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \)

Observa que cada version del teorema sigue el mismo patron: el lado al cuadrado que aparece solo en un miembro es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos el doble producto de esos lados por el coseno del angulo que esta entre ellos (el angulo opuesto al lado que se despeja).

El teorema de coseno se aplica principalmente en dos situaciones donde el teorema de seno no puede usarse directamente:

• Lado, angulo, lado (LAL): se conocen dos lados y el angulo comprendido entre ellos, y se quiere hallar el tercer lado.
• Lado, lado, lado (LLL): se conocen los tres lados del triangulo y se quiere hallar cualquiera de sus angulos.

Si el triangulo es rectangulo y el angulo conocido es de 90 grados, entonces \(\cos(90^\circ) = 0\) y la formula se reduce exactamente al teorema de Pitagoras, \( c^2 = a^2 + b^2 \). Por eso el teorema de coseno se considera una generalizacion de ese teorema para triangulos que no tienen angulo recto.

Un triangulo tiene lados \(a = 7\) y \(b = 10\), con el angulo comprendido \(C = 45^\circ\). Encuentra el lado \(c\).

\( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C) \)

\( c^2 = 7^2 + 10^2 - 2(7)(10)\cos(45^\circ) \)

\( c^2 = 49 + 100 - 140(0.7071) \)

\( c^2 = 149 - 99 = 50 \)

\( c = \sqrt{50} \approx 7.07 \)

Un triangulo tiene lados \(a = 5\), \(b = 7\) y \(c = 10\). Encuentra el angulo \(C\).

Se despeja el coseno de la formula original:

\( \cos(C) = \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)

\( \cos(C) = \dfrac{25 + 49 - 100}{2(5)(7)} = \dfrac{-26}{70} \approx -0.3714 \)

\( C = \cos^{-1}(-0.3714) \approx 111.8^\circ \)

El signo negativo del coseno indica que el angulo \(C\) es obtuso, lo cual es coherente porque \(c\) es el lado mas largo del triangulo.

Una vez que conoces un angulo mediante el teorema de coseno, a menudo puedes terminar de resolver el triangulo usando el teorema de seno, que relaciona lados y angulos mediante proporciones. Combinar ambos teoremas es la estrategia central para resolver triangulos oblicuos completos, tal como se explica en aplicaciones de los teoremas del seno y coseno.

Tambien conviene recordar como se comportan los angulos fuera del rango de 0 a 90 grados, especialmente al interpretar un coseno negativo como en el Ejemplo 2; para reforzar esa idea revisa el concepto de angulo de referencia.

• Olvidar que el angulo en la formula debe ser el angulo comprendido entre los dos lados conocidos (no cualquier otro angulo del triangulo).
• Confundir el signo al despejar el coseno en el caso LLL; revisa siempre el signo antes de calcular el arcocoseno.
• Usar el teorema de seno cuando en realidad se conocen dos lados y el angulo entre ellos (caso LAL), situacion en la que el teorema de coseno es la herramienta correcta.

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