Ángulos Coterminales

Cuando un ángulo se dibuja en posición estándar, su vértice está en el origen y su lado inicial coincide con el eje x positivo. El lado terminal es el rayo que gira desde esa posición inicial hasta marcar la medida del ángulo. Dos o más ángulos son coterminales cuando, aunque tengan medidas diferentes, terminan exactamente en el mismo lado terminal.

Esto ocurre porque un giro completo alrededor del origen equivale a \( 360^\circ \) (o \( 2\pi \) radianes). Si a un ángulo le sumamos o restamos una o varias vueltas completas, el lado terminal vuelve a caer en el mismo lugar, aunque el número que describe el ángulo sea distinto.

Para encontrar cualquier ángulo coterminal con un ángulo dado \( \theta \), basta con sumar o restar múltiplos enteros de una vuelta completa.

En grados: \( \theta + 360^\circ k \), donde \( k \) es cualquier número entero (\( k = ...,-2,-1,0,1,2,... \)).

En radianes: \( \theta + 2\pi k \), con \( k \) entero.

Usando \( k = 1 \) obtenemos el coterminal positivo más cercano por encima del ángulo original, y usando \( k = -1 \) obtenemos el coterminal negativo más cercano por debajo.

Encuentra un ángulo coterminal positivo y uno negativo para \( \theta = 50^\circ \).

Coterminal positivo: \( 50^\circ + 360^\circ = 410^\circ \).

Coterminal negativo: \( 50^\circ - 360^\circ = -310^\circ \).

Los tres ángulos, \( -310^\circ \), \( 50^\circ \) y \( 410^\circ \), comparten el mismo lado terminal.

Encuentra el ángulo coterminal positivo más pequeño de \( \theta = -120^\circ \).

Como el ángulo es negativo, sumamos \( 360^\circ \): \( -120^\circ + 360^\circ = 240^\circ \).

Por lo tanto, \( 240^\circ \) es el ángulo coterminal positivo más pequeño de \( -120^\circ \).

Encuentra el ángulo coterminal de \( \theta = 830^\circ \) que esté entre \( 0^\circ \) y \( 360^\circ \).

Restamos \( 360^\circ \) las veces necesarias: \( 830^\circ - 360^\circ = 470^\circ \), y como \( 470^\circ \) sigue siendo mayor que \( 360^\circ \), restamos de nuevo: \( 470^\circ - 360^\circ = 110^\circ \).

El ángulo coterminal buscado es \( 110^\circ \).

Encuentra un ángulo coterminal positivo de \( \theta = \dfrac{5\pi}{3} \) y otro de \( \theta = -\dfrac{\pi}{4} \).

Para \( \dfrac{5\pi}{3} \): sumando \( 2\pi \) obtenemos \( \dfrac{5\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{11\pi}{3} \).

Para \( -\dfrac{\pi}{4} \): sumando \( 2\pi \) obtenemos \( -\dfrac{\pi}{4} + 2\pi = \dfrac{7\pi}{4} \), que es el coterminal positivo más pequeño.

Un truco útil consiste en encontrar primero el ángulo equivalente entre \( 0^\circ \) y \( 360^\circ \) (o entre \( 0 \) y \( 2\pi \)) sumando o restando \( 360^\circ k \) las veces que haga falta. Ese valor reducido comparte el mismo ángulo de referencia y las mismas razones trigonométricas que todos sus coterminales, lo cual es muy útil al trabajar con la circunferencia goniométrica.

Los ángulos coterminales siempre difieren entre sí por un múltiplo entero de \( 360^\circ \) o de \( 2\pi \) radianes, nunca por otra cantidad. Existen infinitos ángulos coterminales con cualquier ángulo dado, tanto positivos como negativos, porque \( k \) puede tomar cualquier valor entero.

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