Signos de las Funciones Trigonométricas según el Cuadrante

Cuando trabajamos con ángulos mayores que 90 grados, el seno, el coseno y la tangente ya no son siempre positivos. El signo de cada función depende exclusivamente del cuadrante en el que se encuentra el lado final del ángulo cuando este se dibuja en posición estándar. Saber leer ese signo de un vistazo es una habilidad clave para resolver ecuaciones trigonométricas y para trabajar con la circunferencia goniométrica.

Sobre la circunferencia goniométrica, cualquier punto tiene coordenadas \( (x, y) \), y el radio siempre es positivo porque es una distancia. Las tres funciones básicas se definen como:

\( \sin(\theta) = \dfrac{y}{r} \),   \( \cos(\theta) = \dfrac{x}{r} \),   \( \tan(\theta) = \dfrac{y}{x} \)

Como \( r \) es siempre positivo, el signo de \( \sin(\theta) \) depende solo del signo de \( y \), el signo de \( \cos(\theta) \) depende solo del signo de \( x \), y el signo de \( \tan(\theta) \) depende del cociente entre ambos. Por eso, para saber el signo de una función trigonométrica basta con identificar en qué cuadrante cae el ángulo. Si todavía no tienes claro cómo dibujar un ángulo en posición estándar, revisa primero ángulos en posición estándar.

A partir de estos signos de \( x \) y de \( y \), podemos construir directamente la tabla de signos de las tres funciones principales.

Esta tabla resume la llamada regla ASTC (o T-S-T-C, leyendo en español), que se recuerda recorriendo los cuadrantes en sentido contrario a las agujas del reloj a partir del cuadrante I:

• Cuadrante I: todas las funciones son positivas.
• Cuadrante II: solo el seno (y su reciproco, la cosecante) es positivo.
• Cuadrante III: solo la tangente (y su reciproco, la cotangente) es positiva.
• Cuadrante IV: solo el coseno (y su reciproco, la secante) es positivo.

Fíjate que \( \tan(\theta) = \dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \), así que su signo siempre se obtiene multiplicando el signo del seno por el signo del coseno. Por eso en el cuadrante II, donde el seno es positivo y el coseno negativo, la tangente resulta negativa.

La gráfica de \( y = \sin(x) \) muestra visualmente el patrón de signos: es positiva mientras el ángulo recorre los cuadrantes I y II, y negativa en los cuadrantes III y IV.

Ejemplo 1. Determina el signo de \( \sin(150^\circ) \), \( \cos(150^\circ) \) y \( \tan(150^\circ) \).

Como \( 90^\circ \lt 150^\circ \lt 180^\circ \), el ángulo está en el cuadrante II. Por la regla anterior, \( \sin(150^\circ) \) es positivo, mientras que \( \cos(150^\circ) \) y \( \tan(150^\circ) \) son negativos.

Ejemplo 2. Determina el signo de \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \).

El ángulo \( \dfrac{5\pi}{3} \) equivale a \( 300^\circ \), que está entre \( 270^\circ \) y \( 360^\circ \), es decir en el cuadrante IV. Ahí el coseno es positivo, así que \( \cos\left(\dfrac{5\pi}{3}\right) \gt 0 \).

Ejemplo 3. Sin calcular su valor exacto, decide si \( \tan(210^\circ) \) es positivo o negativo.

El ángulo \( 210^\circ \) está entre \( 180^\circ \) y \( 270^\circ \), en el cuadrante III, donde la tangente es positiva. Por lo tanto \( \tan(210^\circ) \gt 0 \).

Dos ángulos que terminan en el mismo lado, como \( 30^\circ \) y \( 390^\circ \), se llaman ángulos coterminales y siempre tienen exactamente los mismos valores y el mismo signo en sus funciones trigonométricas, porque terminan en el mismo punto de la circunferencia. Esto significa que, para encontrar el signo de un ángulo muy grande o negativo, primero puedes restarle o sumarle vueltas completas de \( 360^\circ \) (o \( 2\pi \)) hasta llevarlo a un ángulo entre \( 0^\circ \) y \( 360^\circ \), y luego identificar su cuadrante como en los ejemplos anteriores.

Dominar esta regla de signos es también la base para trabajar con confianza el teorema de seno y el teorema de coseno, donde interpretar correctamente si un valor debe ser positivo o negativo evita errores frecuentes al resolver triángulos.

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