Sucesiones Aritméticas

Una sucesión aritmética (también llamada progresión aritmética) es una lista ordenada de números en la que la diferencia entre cada término y el anterior siempre es la misma. A ese valor constante se le llama diferencia común y se representa con la letra \(d\).

Por ejemplo, en la sucesión 3, 7, 11, 15, 19... cada término se obtiene sumando 4 al anterior, por lo que \(d = 4\). Si la diferencia común es negativa, la sucesión disminuye en lugar de crecer.

Para calcular \(d\) basta restar dos términos consecutivos cualesquiera: \(d = a_{n} - a_{n-1}\). Si el resultado es el mismo sin importar qué pareja de términos consecutivos se use, confirmas que la sucesión es aritmética. Si el resultado cambia de una pareja a otra, la sucesión no es aritmética.

El término general (o término n-ésimo) permite encontrar cualquier valor de la sucesión sin escribir todos los anteriores. La fórmula es:

\( a_n = a_1 + (n - 1)d \)

donde \(a_1\) es el primer término, \(d\) es la diferencia común y \(n\) es la posición del término que quieres calcular.

Ejemplo resuelto

Encuentra el término 12 de la sucesión 5, 9, 13, 17...

Primero identifica \(a_1 = 5\) y \(d = 4\). Luego sustituye en la fórmula:

\( a_{12} = 5 + (12 - 1)(4) = 5 + 44 = 49 \)

El término número 12 de esta sucesión es 49.

Como cada término aumenta (o disminuye) siempre la misma cantidad, al graficar la posición \(n\) contra el valor del término \(a_n\) obtienes puntos alineados, igual que en una función lineal. La pendiente de esa recta es precisamente la diferencia común \(d\).

Si \(d > 0\), la sucesión es creciente. Si \(d < 0\), es decreciente. Si \(d = 0\), todos los términos son iguales. Reconocer el signo de \(d\) te ayuda a anticipar el comportamiento de la sucesión antes de calcular varios términos a mano.

Cuando sumas los términos de una sucesión aritmética obtienes una serie aritmética, que tiene su propia fórmula de suma. No la confundas con las progresiones geométricas, donde cada término se multiplica por una razón constante en lugar de sumarle una diferencia constante.

La mayoría de los problemas de progresiones aritméticas piden alguno de estos tres datos: el primer término, la diferencia común o la posición de un término específico. Ordena la información conocida, sustitúyela en \( a_n = a_1 + (n-1)d \) y despeja la incógnita que falte. Con práctica, este procedimiento se vuelve casi automático, sin importar qué dato falte en el problema.

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