Identidades de Suma y Diferencia

Las identidades de suma y diferencia son fórmulas trigonométricas que permiten calcular el seno, el coseno o la tangente de la suma o la resta de dos ángulos, \(A\) y \(B\), a partir de los valores de seno, coseno y tangente de cada ángulo por separado. En lugar de tratar \(A+B\) o \(A-B\) como un ángulo nuevo y desconocido, estas identidades lo descomponen en piezas que ya conocemos.

Su utilidad principal es evaluar ángulos que no aparecen directamente en la tabla de valores exactos, como \(15^{\circ}\) o \(75^{\circ}\), escribiéndolos como suma o resta de ángulos conocidos (por ejemplo, \(45^{\circ} + 30^{\circ}\) o \(45^{\circ} - 30^{\circ}\)). También son la base para simplificar expresiones y demostrar otras identidades trigonométricas más avanzadas.

Estas son las seis identidades fundamentales que debes memorizar:

\( \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

\( \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \)

\( \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)

\( \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \)

\( \tan(A+B) = \dfrac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \)

\( \tan(A-B) = \dfrac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \)

Nota que en el coseno los signos se "invierten": para la suma se resta, y para la diferencia se suma. En el seno y la tangente, en cambio, el signo de la fórmula coincide con el signo del ángulo original.

Estas fórmulas no aparecen aisladas dentro de la trigonometría. Se conectan directamente con las cofunciones trigonométricas, ya que expresiones como \( \sin(90^{\circ}-A) = \cos A \) son casos particulares de la identidad de la diferencia aplicada al seno. También sirven de punto de partida para deducir las identidades del ángulo doble, que se obtienen simplemente haciendo \(B=A\) en las fórmulas de suma. Además, al combinarlas con las identidades trigonométricas pitagóricas puedes verificar y simplificar expresiones más complejas durante la resolución de ecuaciones.

Calculemos \( \sin(75^{\circ}) \) usando la identidad de suma. Escribimos \(75^{\circ} = 45^{\circ} + 30^{\circ}\):

\( \sin(75^{\circ}) = \sin(45^{\circ}+30^{\circ}) = \sin 45^{\circ}\cos 30^{\circ} + \cos 45^{\circ}\sin 30^{\circ} \)

Sustituyendo los valores exactos \( \sin 45^{\circ} = \cos 45^{\circ} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \), \( \cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \) y \( \sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2} \):

\( \sin(75^{\circ}) = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \)

Este mismo procedimiento funciona para cualquier ángulo que puedas expresar como suma o resta de \(0^{\circ}, 30^{\circ}, 45^{\circ}, 60^{\circ}\) o \(90^{\circ}\).

La gráfica siguiente muestra \( y = \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right) \), es decir, la función seno desplazada por la suma de un ángulo fijo. Observa cómo el ángulo sumado adelanta la curva respecto al seno original, ilustrando de forma visual el efecto de la identidad de suma.

Un error frecuente es pensar que \( \sin(A+B) \) es igual a \( \sin A + \sin B \); esto es falso en general, ya que el seno no es una función lineal respecto a la suma de ángulos. Otro error típico es confundir los signos en las fórmulas del coseno, olvidando que se invierten respecto al signo original de la operación. También conviene recordar que la identidad de la tangente no está definida cuando \( \tan A \tan B = 1\), pues el denominador se anula.

Si necesitas repasar cómo se relacionan tangente, seno y coseno antes de trabajar con estas fórmulas, revisa las identidades trigonométricas cocientes y recíprocas, que explican de dónde proviene la definición de la tangente usada aquí.

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