Problemas de Sistemas de Ecuaciones de 3 Incógnitas

Un problema verbal relacionado con sistemas de ecuaciones de 3 variables describe una situación con tres cantidades desconocidas que están relacionadas entre sí por tres condiciones distintas. En lugar de trabajar directamente con ecuaciones ya planteadas, aquí el reto principal es leer el enunciado con cuidado y traducir cada frase en una ecuación con las variables \( x \), \( y \) y \( z \). Una vez que se tiene el sistema, se resuelve con las mismas técnicas que ya conoces, como el método de eliminación, adaptadas a tres incógnitas en lugar de dos.

Este tipo de problema aparece en contextos muy variados: repartos de dinero entre tres cuentas, mezclas de tres ingredientes, edades de tres personas, o precios de tres artículos diferentes. Si ya practicaste problemas razonados financieros con dos variables o problemas de números desconocidos, notarás que la lógica para plantear las ecuaciones es la misma; simplemente ahora se necesita una tercera ecuación porque hay una tercera incógnita.

Sigue este proceso ordenado para no perder información del enunciado:

1. Define tres variables, una por cada cantidad desconocida, y escribe claramente qué representa cada una.
2. Lee el problema oración por oración y convierte cada relación en una ecuación lineal. Necesitas exactamente tres ecuaciones independientes para poder resolver el sistema.
3. Ordena las ecuaciones con los términos en el mismo orden: \( x \), \( y \), \( z \), constante.
4. Elimina una variable combinando pares de ecuaciones, hasta reducir el sistema a dos ecuaciones con dos incógnitas.
5. Resuelve el sistema de dos variables resultante y luego sustituye hacia atrás para hallar la tercera variable.
6. Comprueba los tres valores en las ecuaciones originales, no solo en las simplificadas.

Una persona invierte un total de 20000 dólares en tres fondos distintos. La cantidad en el segundo fondo es el doble de la del primero, y la cantidad en el tercer fondo es 2000 dólares menos que la suma de las otras dos. ¿Cuánto invirtió en cada fondo?

Sea \( x \) lo invertido en el primer fondo, \( y \) en el segundo y \( z \) en el tercero. Traduciendo cada oración:

\( x + y + z = 20000 \)
\( y = 2x \)
\( z = x + y - 2000 \)

Sustituyendo la segunda ecuación en la tercera: \( z = x + 2x - 2000 = 3x - 2000 \). Ahora sustituimos \( y = 2x \) y \( z = 3x - 2000 \) en la primera ecuación:

\( x + 2x + (3x - 2000) = 20000 \)
\( 6x - 2000 = 20000 \)
\( 6x = 22000 \)
\( x = 3666.67 \)

Con \( x \) conocido, \( y = 2(3666.67) = 7333.33 \) y \( z = 3(3666.67) - 2000 = 8999.99 \). Al redondear y verificar, la suma se aproxima al total dado, confirmando la solución. Este mismo tipo de traducción de frases en ecuaciones es el que usaste antes en problemas de dimensiones de rectángulos, solo que ahora con una variable adicional.

La suma de las edades de tres hermanos es 48. El mayor tiene el doble de la edad del menor, y el mediano tiene 4 años más que el menor. Encuentra las tres edades.

Sea \( x \) la edad del menor, \( y \) la del mediano y \( z \) la del mayor.

\( x + y + z = 48 \)
\( z = 2x \)
\( y = x + 4 \)

Sustituyendo \( y \) y \( z \) en la primera ecuación:

\( x + (x + 4) + 2x = 48 \)
\( 4x + 4 = 48 \)
\( 4x = 44 \)
\( x = 11 \)

Entonces \( y = 15 \) y \( z = 22 \). Comprobación: \( 11 + 15 + 22 = 48 \), lo cual coincide con el enunciado. Observa que aquí no fue necesario usar eliminación fila por fila porque dos ecuaciones ya estaban despejadas; cuando eso no ocurra, recuerda apoyarte en el método de eliminación practicado con sistemas de dos variables.

Un error frecuente es escribir menos de tres ecuaciones independientes, lo que deja el sistema sin solución única. Otro error es mezclar las unidades (por ejemplo, sumar años con meses) sin convertirlas primero. También es común olvidar comprobar la solución en las tres ecuaciones originales, no solo en la última simplificada, ya que un error de signo puede pasar desapercibido si solo se revisa una ecuación.

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