Sistemas de Ecuaciones de Tres Variables por Eliminación

Un sistema de ecuaciones con tres variables está formado por tres ecuaciones lineales que comparten las mismas tres incógnitas, normalmente llamadas \( x \), \( y \) y \( z \). La solución del sistema es el conjunto de valores \( (x, y, z) \) que hace verdaderas las tres ecuaciones al mismo tiempo. Si ya conoces cómo resolver sistemas de dos variables por eliminación, este método es una extensión natural: la idea central sigue siendo sumar o restar ecuaciones para cancelar una variable a la vez.

El objetivo es reducir el problema de tres variables a un problema de dos variables, y luego reducirlo otra vez a una sola variable. Los pasos generales son los siguientes:

1. Elige dos de las tres ecuaciones y elimina la misma variable, sumándolas o restándolas después de multiplicar por un número si es necesario.
2. Elige otro par de ecuaciones (una de ellas debe repetirse) y elimina esa misma variable otra vez.
3. Ahora tienes dos ecuaciones nuevas con solo dos variables. Resuélvelas con el método de eliminación de dos variables.
4. Sustituye los dos valores encontrados en cualquiera de las ecuaciones originales para hallar la tercera variable.
5. Comprueba la solución sustituyendo \( (x, y, z) \) en las tres ecuaciones originales.

Resuelve el siguiente sistema:

\( x + y + z = 6 \)

\( x - y + 2z = 5 \)

\( 2x + y - z = 1 \)

Paso 1: elimina \( y \) usando la primera y la segunda ecuación. Suma las dos ecuaciones directamente, ya que los términos \( y \) y \( -y \) se cancelan:

\( (x+y+z) + (x-y+2z) = 6 + 5 \) da como resultado \( 2x + 3z = 11 \).

Paso 2: elimina \( y \) usando la primera y la tercera ecuación. Esta vez resta la primera ecuación de la tercera:

\( (2x+y-z) - (x+y+z) = 1 - 6 \) da como resultado \( x - 2z = -5 \).

Paso 3: resuelve el sistema de dos variables. Ahora tienes:

\( 2x + 3z = 11 \)

\( x - 2z = -5 \)

De la segunda ecuación despeja \( x = 2z - 5 \) y sustituye en la primera: \( 2(2z-5) + 3z = 11 \), es decir \( 4z - 10 + 3z = 11 \), lo que se simplifica a \( 7z = 21 \), por lo tanto \( z = 3 \).

Con \( z = 3 \), obtienes \( x = 2(3) - 5 = 1 \).

Paso 4: sustituye en una ecuación original para hallar \( y \). Usando \( x + y + z = 6 \): \( 1 + y + 3 = 6 \), entonces \( y = 2 \).

Paso 5: verifica la solución. Sustituye \( x = 1 \), \( y = 2 \), \( z = 3 \) en las tres ecuaciones originales: \( 1+2+3=6 \), \( 1-2+6=5 \) y \( 2+2-3=1 \). Las tres se cumplen, así que la solución es \( (1, 2, 3) \).

No existe una única forma correcta de empezar: puedes eliminar \( x \), \( y \) o \( z \), siempre que seas consistente en los dos primeros pasos. Conviene observar los coeficientes de cada ecuación y elegir la variable que se cancele más fácilmente (por ejemplo, cuando ya aparece con signos opuestos, como \( +y \) y \( -y \) en el ejemplo anterior) para evitar multiplicar ecuaciones enteras por números grandes.

Al eliminar variables, a veces todas las incógnitas desaparecen y queda una afirmación como \( 0 = 0 \) (el sistema tiene infinitas soluciones) o \( 0 = 5 \) (el sistema no tiene solución). Este comportamiento es el mismo que se estudia con sistemas de dos variables al determinar el número de soluciones de ecuaciones lineales, y también se puede visualizar gráficamente, como se explica en el método para resolver sistemas por graficación, aunque con tres variables cada ecuación representa un plano en lugar de una recta.

Organiza siempre tus ecuaciones alineando los términos \( x \), \( y \) y \( z \) en columnas antes de sumar o restar. Etiqueta cada ecuación nueva (por ejemplo, "Ecuación A" y "Ecuación B") para no confundir el sistema reducido con el original, y comprueba tu solución final en las tres ecuaciones, no solo en una.

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