Reflexión sobre el Eje Y

Una reflexión sobre el eje y es una transformación que toma cada punto de una figura o de una gráfica y lo "voltea" hacia el lado opuesto del eje y, como si el eje y fuera un espejo vertical. La distancia horizontal de cada punto al eje y se conserva, pero el punto queda del otro lado.

La regla de coordenadas es muy simple: para cualquier punto \( (x, y) \), su imagen reflejada sobre el eje y es \( (-x, y) \). El valor de \( y \) no cambia porque el eje y es precisamente el eje vertical; solo se invierte el signo de la coordenada \( x \).

Observa qué le pasa a un punto y a su reflejo sobre el eje y:

Fíjate que ambos puntos están a la misma altura (misma coordenada \( y \)) y a la misma distancia del eje y, uno a cada lado. Este mismo procedimiento se puede aplicar a cada vértice de un polígono o a cada punto de una curva para reflejar toda la figura.

Cuando la figura que reflejamos es la gráfica de una función \( y = f(x) \), reflejarla sobre el eje y equivale a sustituir \( x \) por \( -x \) dentro de la regla de la función, obteniendo una nueva función \( g(x) = f(-x) \). Para revisar cómo se sustituyen valores dentro de una función antes de aplicar esta transformación, puedes repasar la notación de funciones.

Por ejemplo, si \( f(x) = x^3 - 2x + 1 \), entonces la función reflejada sobre el eje y es:

\( g(x) = f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) + 1 = -x^3 + 2x + 1 \)

Observa las dos gráficas: la original y su reflejo sobre el eje y.

Nota que el punto \( (1, 0) \) de la función original corresponde al punto \( (-1, 0) \) de la función reflejada: la coordenada \( x \) cambió de signo y la coordenada \( y \) se mantuvo igual, tal como indica la regla \( (x, y) \)→\( (-x, y) \).

Como la reflexión sobre el eje y solo cambia el signo de \( x \), el punto donde la gráfica cruza el eje y (cuando \( x = 0 \)) nunca se mueve: el intercepto en y es exactamente el mismo antes y después de reflejar. En cambio, cualquier intercepto en x cambia de signo, porque su coordenada x se invierte. Puedes profundizar en cómo se comportan estos puntos revisando las relaciones entre los interceptos x y y.

De forma parecida, si el dominio original de una función es un conjunto de valores de x, el dominio de la función reflejada es ese mismo conjunto con todos los signos invertidos. El rango, en cambio, no cambia, ya que los valores de y permanecen iguales. Este tema se relaciona directamente con el dominio y rango de una función.

Algunas funciones son simétricas respecto al eje y desde el principio; se llaman funciones pares y cumplen que \( f(-x) = f(x) \) para todo x en su dominio. Un ejemplo clásico es \( f(x) = x^2 \), cuya gráfica es una parábola idéntica a ambos lados del eje y. Si reflejas una función par sobre el eje y, obtienes exactamente la misma gráfica, sin ningún cambio visible.

Refleja el triángulo con vértices \( A(2, 1) \), \( B(5, 1) \) y \( C(3, 4) \) sobre el eje y.

Aplicamos la regla \( (x, y) \)→\( (-x, y) \) a cada vértice:

\( A(2, 1) \)→\( A'(-2, 1) \)

\( B(5, 1) \)→\( B'(-5, 1) \)

\( C(3, 4) \)→\( C'(-3, 4) \)

El nuevo triángulo \( A'B'C' \) tiene exactamente la misma forma y tamaño que el original, pero está ubicado al otro lado del eje y, como un espejo. Este tipo de razonamiento también es útil cuando trabajas con la relación entre dos variables, ya que ayuda a visualizar cómo cambia una variable en función de la otra bajo una transformación.

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