Reflexión sobre el Eje X

Una reflexión sobre el eje x es una transformación que voltea una gráfica como si el eje x fuera un espejo. Cada punto de la figura original aparece del otro lado del eje, a la misma distancia, pero con el signo de la coordenada y invertido. El eje x actúa como línea de simetría entre la figura original y su imagen reflejada.

Para reflejar cualquier punto \( (x, y) \) sobre el eje x, se mantiene la coordenada x y se cambia el signo de la coordenada y. La regla se escribe así:

\( (x, y) \)→\( (x, -y) \)

Por ejemplo, el punto \( (4, 2) \) se convierte en \( (4, -2) \), y el punto \( (-3, -5) \) se convierte en \( (-3, 5) \). Observa que la coordenada x nunca cambia; solo se invierte el signo de y.

Cuando la figura reflejada es la gráfica de una función escrita con notación de funciones, la reflexión sobre el eje x se obtiene multiplicando toda la expresión por -1. Si la función original es \( y = f(x) \), la función reflejada es:

\( y = -f(x) \)

Esto significa que cada valor de salida cambia de signo, mientras que el dominio de la función no se modifica. En cambio, el rango de la función sí cambia, porque los valores positivos pasan a ser negativos y viceversa.

Considera la función \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \). Su gráfica es una parábola que abre hacia arriba, con interceptos en \( x = -1 \) y \( x = 3 \), y vértice en \( x = 1 \).

Al reflejar esta función sobre el eje x, se obtiene \( g(x) = -f(x) = -(x^2 - 2x - 3) = -x^2 + 2x + 3 \). La nueva parábola abre hacia abajo, y su vértice, que estaba arriba del eje x, ahora queda por debajo. Los interceptos con el eje x se mantienen en \( x = -1 \) y \( x = 3 \), porque esos puntos ya tenían \( y = 0 \) y no cambian al invertir el signo.

Este comportamiento de los interceptos se puede explicar usando lo que aprendiste sobre las relaciones entre los interceptos x y y: cualquier punto donde \( y = 0 \) permanece fijo bajo una reflexión sobre el eje x, ya que \( -0 = 0 \).

Al observar dos gráficas, puedes identificar una reflexión sobre el eje x si:

Cada punto de una gráfica tiene su correspondiente en la otra gráfica con la misma coordenada x pero coordenada y de signo opuesto. Si doblaras el papel exactamente sobre el eje x, las dos gráficas coincidirían perfectamente.

Un error frecuente es confundir la reflexión sobre el eje x con la reflexión sobre el eje y, que sigue la regla \( (x, y) \)→\( (-x, y) \) y cambia el signo de la coordenada x en lugar de la y. Otro error es olvidar aplicar el signo negativo a toda la expresión de la función, no solo al primer término; por ejemplo, si \( f(x) = x^2 - 2x - 3 \), la reflexión correcta es \( -x^2 + 2x + 3 \), y no \( -x^2 - 2x - 3 \).

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