Graficar Desigualdades Lineales en Dos Variables

Una desigualdad lineal en dos variables se parece a una ecuacion lineal, pero en lugar de un signo igual usa \( <, \le, > \) o \( \ge \). Mientras que la grafica de una ecuacion lineal es una sola linea recta, la grafica de una desigualdad lineal es una region completa del plano cartesiano: infinitos puntos \((x, y)\) que hacen verdadera la desigualdad.

Una desigualdad lineal en dos variables tiene la forma general \( Ax + By \le C \) (o con \( <, > , \ge \)), donde \(A\), \(B\) y \(C\) son numeros reales. Por ejemplo, \( 2x + 3y \le 6 \) es una desigualdad lineal. A diferencia de una ecuacion, cuya solucion es un conjunto de puntos sobre una linea, la solucion de una desigualdad lineal es un semiplano: toda la region a un lado de la linea frontera, y a veces tambien la propia linea.

Para graficar la desigualdad, primero trata el signo de desigualdad como si fuera un signo igual y grafica esa ecuacion lineal. Esta linea se llama la linea frontera porque separa el plano en dos regiones: los puntos que cumplen la desigualdad y los que no.

Es util despejar \(y\) para escribir la ecuacion en forma pendiente-intercepto \( y = mx + b \). Para \( 2x + 3y \le 6 \), despejamos:

\( 3y \le -2x + 6 \) y luego \( y \le -\dfrac{2}{3}x + 2 \).

La linea frontera es \( y = -\dfrac{2}{3}x + 2 \), con intercepto en \(y\) igual a 2 e intercepto en \(x\) igual a 3.

El tipo de signo de desigualdad indica si los puntos de la propia linea forman parte de la solucion.

• Si la desigualdad usa \( \le \) o \( \ge \), la linea frontera se dibuja solida, porque los puntos sobre la linea si cumplen la desigualdad.
• Si la desigualdad usa \( < \) o \( > \) (estricta), la linea frontera se dibuja punteada, porque los puntos sobre la linea no cumplen la desigualdad.

Una vez trazada la linea frontera, hay que decidir cual de los dos semiplanos sombrear. La forma mas segura es la prueba del punto:

1. Elige un punto que claramente no este sobre la linea frontera. El origen \((0,0)\) suele ser la opcion mas facil, siempre que la linea no pase por el.
2. Sustituye las coordenadas del punto en la desigualdad original (no en la version despejada).
3. Si el punto hace verdadera la desigualdad, sombrea el semiplano que contiene ese punto. Si la hace falsa, sombrea el semiplano opuesto.

Para \( 2x + 3y \le 6 \), probamos \((0,0)\): \( 2(0) + 3(0) = 0 \), y \( 0 \le 6 \) es verdadero. Por lo tanto, sombreamos el semiplano que contiene el origen, y dibujamos la linea frontera solida porque la desigualdad usa \( \le \).

Cuando la desigualdad ya esta despejada en terminos de \(y\), existe un atajo: si es \( y \le \) o \( y < \), la region solucion queda por debajo de la linea; si es \( y \ge \) o \( y > \), la region queda por arriba de la linea. Este atajo coincide siempre con el resultado de la prueba del punto.

Grafica \( y > x - 1 \). La linea frontera es \( y = x - 1 \), y como la desigualdad es estricta (\(>\)), la linea se dibuja punteada. Probando el origen: \( 0 > 0 - 1 \), es decir \( 0 > -1 \), que es verdadero, asi que se sombrea el semiplano que contiene al origen, por encima de la linea punteada.

• Olvidar cambiar el sentido de la desigualdad al multiplicar o dividir por un numero negativo mientras se despeja \(y\).
• Usar linea solida cuando la desigualdad es estricta, o viceversa.
• Elegir un punto de prueba que este sobre la propia linea frontera, lo que no permite decidir la region correcta.

Dominar este proceso tambien ayuda a entender mejor el comportamiento de otras funciones basadas en expresiones lineales, como se explora en el tema graficar reciprocos de funciones lineales, donde la misma linea frontera se usa como referencia para otra grafica relacionada.

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