Distancia y Punto Medio de Números Complejos

Todo número complejo \( z = a + bi \) se puede representar como el punto \( (a, b) \) dentro del plano complejo, donde el eje horizontal corresponde a la parte real y el eje vertical a la parte imaginaria. Una vez que un número complejo se convierte en un punto con dos coordenadas, podemos aplicar las mismas ideas de geometría analítica que usamos con puntos ordinarios: calcular qué tan separados están dos puntos (distancia) y encontrar el punto exactamente a la mitad entre ellos (punto medio).

Sean \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \) dos números complejos. Al representarlos como los puntos \( (a, b) \) y \( (c, d) \), la distancia entre ellos es simplemente la longitud del segmento que los une, calculada con el teorema de Pitágoras:

\( d = |z_1 - z_2| = \sqrt{(a-c)^2 + (b-d)^2} \)

Observa que esta expresión es el valor absoluto de la diferencia \( z_1 - z_2 \). Para restar los dos números complejos, recuerda cómo se combinan las partes reales e imaginarias en la lección de suma y resta de números complejos; luego calculas el valor absoluto del resultado igual que harías con cualquier número complejo.

El punto medio \( M \) entre \( z_1 = a + bi \) y \( z_2 = c + di \) se calcula promediando por separado las partes reales y las partes imaginarias:

\( M = \dfrac{z_1+z_2}{2} = \left(\dfrac{a+c}{2}\right) + \left(\dfrac{b+d}{2}\right)i \)

En otras palabras, sumas los dos números complejos y divides el resultado entre 2, exactamente como sumarías coordenadas \( (x, y) \) para encontrar el punto medio de un segmento.

Encuentra la distancia y el punto medio entre \( z_1 = 3 + 4i \) y \( z_2 = -1 + i \).

Distancia: \( d = \sqrt{(3-(-1))^2 + (4-1)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5 \)

Punto medio: \( M = \left(\dfrac{3+(-1)}{2}\right) + \left(\dfrac{4+1}{2}\right)i = 1 + 2.5i \)

Un error frecuente es olvidar el signo negativo al restar las coordenadas, especialmente cuando alguna parte real o imaginaria es negativa. Otro error común es confundir el punto medio con el conjugado de un número complejo: el conjugado cambia el signo de la parte imaginaria de un solo número, mientras que el punto medio combina dos números complejos distintos. Verifica siempre tus resultados sustituyendo los valores originales en la fórmula antes de dar la respuesta final.

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