Comprende las Teselaciones

Una teselación es un patrón de figuras geométricas que cubre por completo una superficie plana, sin dejar huecos y sin que las figuras se superpongan. Piensa en un piso de baldosas, un panal de abejas o un mosaico: en todos estos casos las mismas figuras (o un conjunto repetido de figuras) se acomodan una junto a otra para llenar todo el espacio disponible. El término también se usa como verbo: decimos que ciertas figuras "teselan" el plano cuando cumplen esa condición de cubrirlo por completo.

Para entender por qué unas figuras teselan y otras no, hay que fijarse en un solo punto muy especial: el vértice donde varias figuras se tocan.

En cualquier punto donde se encuentran varias figuras de una teselación, sus ángulos deben completar un giro entero alrededor de ese punto. Como un giro completo mide 360 grados, la condición básica de toda teselación es que la suma de los ángulos que se juntan en cada vértice sea exactamente 360 grados. Si esa suma fuera menor, quedaría un hueco; si fuera mayor, las figuras se superpondrían.

Cuando en un vértice se repite el mismo ángulo \( n \) veces, la condición se escribe como \( n \times \theta = 360 \), donde \( \theta \) es el ángulo interno de la figura.

El ángulo interno de cualquier polígono regular de \( n \) lados se calcula con la fórmula \( \theta = \dfrac{(n-2) \times 180}{n} \). Para que ese polígono tesele el plano usando copias idénticas de sí mismo, 360 debe dividirse exactamente entre \( \theta \).

• Triángulo equilátero: \( n = 3 \), \( \theta = 60 \) grados, y \( 360 \div 60 = 6 \). Seis triángulos se juntan en cada vértice.
• Cuadrado: \( n = 4 \), \( \theta = 90 \) grados, y \( 360 \div 90 = 4 \). Cuatro cuadrados se juntan en cada vértice.
• Hexágono regular: \( n = 6 \), \( \theta = 120 \) grados, y \( 360 \div 120 = 3 \). Tres hexágonos se juntan en cada vértice.
• Pentágono regular: \( n = 5 \), \( \theta = 108 \) grados, y \( 360 \div 108 \) no es un número entero, así que el pentágono regular no tesela el plano por sí solo.

Por esta razón, de todos los polígonos regulares, únicamente el triángulo equilátero, el cuadrado y el hexágono regular pueden teselar el plano usando un solo tipo de figura.

Usamos la misma fórmula. Para \( n = 8 \): \( \theta = \dfrac{(8-2) \times 180}{8} = \dfrac{1080}{8} = 135 \) grados. Ahora comprobamos la división: \( 360 \div 135 \approx 2.67 \), que no es un número entero. Como no se puede completar el giro de 360 grados con copias enteras del ángulo de 135 grados, el octágono regular no tesela el plano por sí solo.

No todas las teselaciones usan un solo tipo de polígono. En una teselación semirregular, dos o más polígonos regulares distintos se combinan alrededor de cada vértice, siempre respetando que sus ángulos internos sumen 360 grados (por ejemplo, dos hexágonos y dos triángulos en cierto orden). En una teselación irregular, las figuras no tienen que ser polígonos regulares en absoluto: pueden ser formas curvas o ilustradas, como en los famosos mosaicos de estilo artístico, siempre que sigan cubriendo el plano sin huecos.

Para generar y analizar teselaciones más complejas, se usan transformaciones geométricas que repiten una figura base por todo el plano. Si quieres ver cómo se construyen teselaciones deslizando y volteando una figura, revisa teselados usando translaciones y reflecciones. Cuando la figura se repite girando alrededor de un punto, el proceso se explica en teselados usando rotaciones. Estas rotaciones se apoyan en las ideas de simetría rotacional y transformaciones, que muestran cómo una figura puede coincidir consigo misma después de un giro.

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