Teselados Usando Rotaciones

Un teselado es un patrón formado por una o varias figuras que cubren un plano por completo, sin dejar huecos y sin superponerse. Si ya conoces las ideas básicas de las teselaciones o teselados, sabrás que existen distintas maneras de generar el patrón repetido. En esta lección nos enfocamos en los teselados que se construyen usando rotaciones: en lugar de deslizar o reflejar una figura, la giramos alrededor de un punto fijo para crear copias que, junto con la figura original, encajan perfectamente.

La rotación es una transformación que conserva el tamaño y la forma de la figura; solo cambia su orientación alrededor de un punto llamado centro de rotación. Si quieres repasar cómo funciona esta transformación en general, revisa primero la simetría rotacional y transformaciones.

Para construir un teselado con rotaciones necesitamos dos elementos: un centro de rotación (el punto fijo alrededor del cual gira la figura) y un ángulo de rotación (cuánto se gira cada copia). Si queremos colocar \(n\) copias de la figura alrededor de un mismo punto para llenar por completo el espacio a su alrededor, el ángulo de giro entre copias consecutivas debe ser

\( \theta = \dfrac{360^\circ}{n} \)

Esto garantiza que la suma de todos los ángulos alrededor del punto sea exactamente \( 360^\circ \), condición indispensable para que no queden huecos ni superposiciones. Por ejemplo, si giramos una figura tres veces alrededor de un punto, cada giro debe ser de \( 360^\circ \div 3 = 120^\circ \).

Tomemos un triángulo cualquiera, sin necesidad de que sea equilátero ni isósceles, con vértices en un lado inferior. Si rotamos ese triángulo \( 180^\circ \) alrededor del punto medio de uno de sus lados, la copia rotada se coloca justo del otro lado de ese punto, y juntas forman una figura de cuatro lados (un cuadrilátero) que sí teselará el plano al repetirse por traslación.

Observa que el ángulo de rotación aquí es \( 180^\circ \), porque solo necesitamos dos copias (\(n = 2\)) para llenar el espacio alrededor de M: \( 360^\circ \div 2 = 180^\circ \). Ese cuadrilátero resultante puede repetirse por traslación en filas y columnas para cubrir todo el plano, así que cualquier triángulo, sin importar sus medidas, puede convertirse en la base de un teselado gracias a esta rotación.

En los polígonos regulares, la rotación también explica por qué algunos teselan el plano y otros no. Alrededor de cada vértice donde se encuentran varias copias de un polígono regular, la suma de los ángulos interiores debe completar \( 360^\circ \). Los triángulos equiláteros (ángulo interior de \( 60^\circ\), con seis copias girando \(60^\circ\) cada vez), los cuadrados (ángulo de \( 90^\circ\), con cuatro copias) y los hexágonos regulares (ángulo de \( 120^\circ\), con tres copias) cumplen esta condición y por eso son los únicos polígonos regulares que teselan el plano por sí solos usando rotaciones alrededor de un vértice.

Los teselados por rotación son solo una de las estrategias posibles. También puedes generar patrones repitiendo una figura mediante deslizamientos o simetrías; para ver esos métodos en detalle, consulta teselados usando traslaciones y reflexiones. En muchos patrones reales se combinan varias transformaciones: una rotación para encajar figuras alrededor de un punto y una traslación para repetir ese bloque a lo largo de todo el plano. Reconocer el centro y el ángulo de rotación es el primer paso para analizar cualquier teselado que veas, ya sea en un piso de baldosas, un panal de abejas o un diseño artístico.

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