Sumar y restar fracciones con denominadores distintos

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, ya vimos que basta con operar los numeradores, como se explica en sumando fracciones con denominadores iguales y en restando fracciones con denominadores iguales. Pero, ¿que pasa cuando los denominadores son diferentes, por ejemplo en \( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} \)? No podemos sumar los numeradores directamente porque las partes representan tamanos distintos. Primero hay que igualar los denominadores.

El primer paso es buscar un denominador comun, es decir, un numero que sea multiplo de ambos denominadores. La opcion mas practica es el minimo comun multiplo (m.c.m.) de los denominadores. Para \( 2 \) y \( 3 \), el m.c.m. es \( 6 \), porque \( 6 \) es el menor numero divisible entre ambos.

Una vez que tenemos el denominador comun, transformamos cada fraccion en una fraccion equivalente con ese denominador. La regla es multiplicar numerador y denominador por el mismo numero: \( \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \times n}{b \times n} \).

Para nuestro ejemplo: \( \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 3}{2 \times 3} = \dfrac{3}{6} \) y \( \dfrac{1}{3} = \dfrac{1 \times 2}{3 \times 2} = \dfrac{2}{6} \).

Con los denominadores ya iguales, el procedimiento es igual al de fracciones con denominador comun: se suman o restan solo los numeradores y el denominador se mantiene.

\( \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6} \)

Cuando sea posible, se simplifica la fraccion final dividiendo numerador y denominador entre su maximo comun divisor. En este caso, \( \dfrac{5}{6} \) ya esta en su forma mas simple porque \( 5 \) y \( 6 \) no tienen divisores comunes distintos de \( 1 \).

Calculemos \( \dfrac{3}{4} - \dfrac{1}{6} \).

El m.c.m. de \( 4 \) y \( 6 \) es \( 12 \). Convertimos: \( \dfrac{3}{4} = \dfrac{9}{12} \) y \( \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{12} \).

Restamos los numeradores: \( \dfrac{9}{12} - \dfrac{2}{12} = \dfrac{7}{12} \). Como \( 7 \) y \( 12 \) no comparten factores, la fraccion ya esta simplificada.

Multiplicar el numerador y el denominador de una fraccion por el mismo numero no cambia su valor, solo cambia como se ve. Por eso podemos elegir el m.c.m. como denominador comun sin alterar el tamano real de cada fraccion. Este es el mismo principio que se usa para reconocer fracciones equivalentes: distintas formas de escribir la misma cantidad.

Para sumar o restar fracciones con denominadores distintos: primero encuentra el minimo comun multiplo de los denominadores, luego convierte cada fraccion a una equivalente con ese denominador, despues suma o resta los numeradores, y finalmente simplifica el resultado si es posible. Practicar con distintos pares de denominadores ayuda a dominar el orden de estos pasos.

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