Ley de la Potencia de una Potencia

La ley de la potencia de una potencia es una de las reglas básicas de los exponentes. Se usa cuando una expresión que ya tiene un exponente se vuelve a elevar a otro exponente, como en \( (a^m)^n \). En lugar de expandir la expresión término por término, esta ley permite simplificarla directamente multiplicando los exponentes.

Para cualquier base \( a \) distinta de cero y cualquier par de exponentes \( m \) y \( n \), se cumple lo siguiente:

\( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

En palabras: cuando una potencia se eleva a otro exponente, el exponente final es el producto de los dos exponentes originales. Es importante no confundir esta regla con la de multiplicación de potencias de igual base, donde los exponentes se suman en lugar de multiplicarse.

Simplifica \( (2^3)^2 \).

Se multiplican los exponentes: \( 2^{3 \times 2} = 2^6 = 64 \). Puedes comprobarlo expandiendo: \( 2^3 = 8 \), y \( 8^2 = 64 \), lo cual coincide.

Simplifica \( (x^4)^5 \).

Aquí solo hay que multiplicar los exponentes, sin cambiar la base: \( x^{4 \times 5} = x^{20} \).

Simplifica \( (y^{-2})^3 \).

La regla funciona igual aunque el exponente interno sea negativo: \( y^{-2 \times 3} = y^{-6} \). Si el resultado necesita quedar con exponente positivo, puedes aplicar la regla del exponente negativo y escribir \( y^{-6} = \dfrac{1}{y^6} \).

Simplifica \( (3x^2)^3 \).

Cuando la base es un producto (un número y una variable), la potencia de una potencia se combina con la ley de la potencia de un producto: cada factor dentro del paréntesis se eleva al exponente externo. Así, \( (3x^2)^3 = 3^3 \times (x^2)^3 = 27x^6 \).

• Sumar los exponentes en lugar de multiplicarlos: \( (a^2)^3 \) no es \( a^5 \), sino \( a^6 \).
• Olvidar elevar también el coeficiente numérico cuando la base es un producto, como en \( (3x^2)^3 \).
• Confundir esta regla con la del cociente de potencias, que se usa cuando se divide la misma base con distintos exponentes.

La potencia de una potencia rara vez aparece sola en un problema. En expresiones más largas suele combinarse con la ley del producto de potencias, la ley del cociente y la ley de la potencia de un producto o de un cociente. Cuando una expresión mezcla varias de estas reglas, conviene aplicar cada ley por pasos: primero simplifica dentro de los paréntesis, luego aplica la potencia externa y por último combina los términos semejantes. Este proceso se estudia con más detalle en Combinando las leyes de los exponentes.

Simplifica \( (2x^3y^{-1})^4 \).

Aplica la potencia externa a cada factor: \( 2^4 \times (x^3)^4 \times (y^{-1})^4 = 16x^{12}y^{-4} \), que también se puede escribir como \( \dfrac{16x^{12}}{y^4} \).

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