Ángulos en un Círculo

Los ángulos en un círculo se forman cuando dos radios, cuerdas, secantes o tangentes se cruzan en un punto relacionado con la circunferencia. La clave para trabajar con ellos es siempre la misma: cada ángulo está conectado con la medida de uno o más arcos. Antes de continuar, conviene recordar cómo se mide un arco en la lección de arcos de un círculo, ya que todas las fórmulas de esta página dependen de esa idea.

Un ángulo central es aquel cuyo vértice se ubica en el centro del círculo y cuyos lados son dos radios. La propiedad más importante es que la medida del ángulo central es exactamente igual a la medida del arco que abarca:

\( m\angle AOB = \widehat{AB} \)

Por ejemplo, si el arco \( \widehat{AB} \) mide \(80^\circ\), entonces el ángulo central \( \angle AOB \) también mide \(80^\circ\).

Un ángulo inscrito tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son dos cuerdas. El teorema del ángulo inscrito dice que su medida es la mitad del arco que subtiende:

\( m\angle ACB = \frac{1}{2}\widehat{AB} \)

La figura siguiente muestra un ángulo central \( \angle AOB \) y un ángulo inscrito \( \angle ACB \) que abarcan el mismo arco \(\widehat{AB}\). Observa que el ángulo central mide el doble que el inscrito: \( \angle AOB = 2\,\angle ACB \).

Un caso especial muy útil: si una cuerda es un diámetro, el arco que abarca mide \(180^\circ\), así que cualquier ángulo inscrito que lo subtienda mide \(90^\circ\). Por eso, todo triángulo inscrito en una semicircunferencia con la hipotenusa sobre el diámetro es un triángulo rectángulo.

Cuando una tangente y una cuerda se cruzan en el punto de tangencia, forman un ángulo semiinscrito. Su medida también es la mitad del arco que queda "encerrado" por la cuerda:

\( \alpha = \frac{1}{2}\widehat{PQ} \)

Por ejemplo, si el arco \( \widehat{TR} \) que queda del lado de la cuerda mide \(100^\circ\), el ángulo semiinscrito \( \theta \) mide \(50^\circ\).

Hay dos situaciones más que aparecen con frecuencia en los ejercicios de círculos y circunferencias:

Dos cuerdas que se cruzan dentro del círculo: el ángulo formado es la semisuma de los dos arcos opuestos:

\( \theta = \frac{1}{2}\left(\widehat{AB} + \widehat{CD}\right) \)

Ejemplo: si los arcos opuestos miden \(70^\circ\) y \(50^\circ\), entonces \( \theta = \frac{1}{2}(70^\circ + 50^\circ) = 60^\circ \).

Dos secantes, dos tangentes, o una secante y una tangente que se cruzan fuera del círculo: el ángulo formado es la semidiferencia entre el arco lejano y el arco cercano:

\( \theta = \frac{1}{2}\left(\widehat{AB} - \widehat{CD}\right) \)

Ejemplo: si el arco lejano mide \(100^\circ\) y el arco cercano mide \(30^\circ\), entonces \( \theta = \frac{1}{2}(100^\circ - 30^\circ) = 35^\circ \).

Un ángulo inscrito \( \angle ACB \) mide \(42^\circ\). ¿Cuánto mide el ángulo central \( \angle AOB \) que abarca el mismo arco \(\widehat{AB}\)?

Como \( \angle ACB = \frac{1}{2}\widehat{AB} \), se tiene \( \widehat{AB} = 2 \times 42^\circ = 84^\circ \). Y como el ángulo central es igual al arco que abarca, \( \angle AOB = 84^\circ \).

Estas relaciones entre ángulos y arcos también son la base para calcular longitudes de arco y áreas de segmentos y sectores de círculos, así que dominar los ángulos en un círculo te prepara directamente para ese siguiente paso.

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