Permutaciones

Una permutacion es un arreglo ordenado de un conjunto de objetos. La palabra clave aqui es "ordenado": si cambias el orden de los elementos, obtienes una permutacion diferente, aunque los elementos sean exactamente los mismos. Por ejemplo, colocar tres amigos en fila para una foto de tres formas distintas (Ana-Beto-Carla, Beto-Ana-Carla, Carla-Ana-Beto, etc.) genera permutaciones distintas, porque cada orden cuenta como un resultado separado.

Esta idea de "orden" es lo que distingue a las permutaciones de las combinaciones, donde el orden no importa. Si todavia te cuesta decidir cual concepto usar en un problema, revisa la comparacion detallada en permutaciones y combinaciones.

Para contar cuantas permutaciones existen al elegir y ordenar \(r\) objetos de un total de \(n\) objetos distintos, se usa la formula:

\( _{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!} \)

Aqui \(n!\) (n factorial) representa el producto de todos los enteros positivos desde \(n\) hasta \(1\). Si necesitas repasar como se calcula un factorial antes de continuar, consulta la lección de notacion factorial.

Esta formula en realidad resume el mismo razonamiento que usa el principio fundamental de conteo: multiplicar las opciones disponibles en cada posicion, una tras otra, mientras el numero de opciones disminuye a medida que se llenan los lugares.

Imagina que tienes \(n\) objetos y debes acomodar \(r\) de ellos en \(r\) posiciones distintas. Para la primera posicion tienes \(n\) opciones. Para la segunda, ya usaste un objeto, asi que quedan \(n-1\) opciones. Para la tercera quedan \(n-2\), y asi sucesivamente hasta llenar las \(r\) posiciones.

Multiplicar estas opciones da exactamente \( n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times (n-r+1) \), que es otra forma de escribir \( \dfrac{n!}{(n-r)!} \).

Cuando \(r = n\), es decir, cuando ordenas todos los objetos disponibles, la formula se simplifica porque \((n-r)! = 0! = 1\). Entonces el numero total de permutaciones es simplemente \(n!\).

Ejemplo: ¿De cuantas formas se pueden ordenar 4 libros distintos en un estante?

Como se usan los 4 libros y hay 4 espacios, el resultado es \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\) ordenes posibles.

Problema: En una carrera participan 5 corredores. ¿De cuantas formas distintas se pueden otorgar el primer, segundo y tercer lugar?

Aqui \(n = 5\) (corredores) y \(r = 3\) (lugares a ordenar), asi que:

\( _{5}P_{3} = \dfrac{5!}{(5-3)!} = \dfrac{5!}{2!} = \dfrac{120}{2} = 60 \)

Existen 60 formas distintas de asignar los tres primeros lugares.

Cuando algunos objetos son idénticos entre si, varias permutaciones se ven exactamente iguales, asi que hay que dividir para no contarlas de mas. La formula general es:

\( \dfrac{n!}{n_1! \, n_2! \, \cdots \, n_k!} \)

donde \(n_1, n_2, \ldots, n_k\) son las veces que se repite cada elemento distinto.

Ejemplo: ¿Cuantos arreglos distintos tiene la palabra "ANANA"? Hay 5 letras en total, con la letra A repetida 3 veces y la letra N repetida 2 veces:

\( \dfrac{5!}{3! \, 2!} = \dfrac{120}{6 \times 2} = 10 \)

Solo existen 10 arreglos distintos, aunque hay 5 letras para ordenar.

Antes de aplicar la formula, pregunta: ¿el orden de los elementos cambia el resultado? Si la respuesta es si (asignar cargos, formar codigos, ordenar en una fila, otorgar lugares en una competencia), estas ante una permutacion. Muchos problemas combinan ambas ideas en un mismo ejercicio; en ese caso conviene revisar problemas acerca de permutaciones y combinaciones para practicar a separar cada parte correctamente.

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