Media y Desviación Estándar de la Distribución Binomial

La distribución binomial describe el numero de éxitos en \( n \) ensayos independientes, cada uno con la misma probabilidad de éxito \( p \). Una vez identificado un experimento como binomial, dos cantidades resumen su comportamiento: la media (el valor esperado) y la desviación estándar (que tan dispersos están los resultados alrededor de esa media). En esta lección aprenderás las formulas exactas para calcular ambas, por qué funcionan y como aplicarlas en ejemplos numéricos.

La media, también llamada valor esperado, indica el numero promedio de éxitos que se espera obtener si repitiéramos el experimento muchas veces. Para una variable binomial \( X \) con parámetros \( n \) y \( p \), la media se calcula con una formula muy sencilla:

\( \mu = E(X) = np \)

Esta formula tiene sentido intuitivo: si lanzas una moneda justa (\( p = 0.5 \)) diez veces (\( n = 10 \)), esperas obtener en promedio \( 10 \times 0.5 = 5 \) caras. Cada uno de los \( n \) ensayos aporta, en promedio, \( p \) éxitos, y al sumar los \( n \) ensayos se obtiene \( np \).

La varianza mide que tan dispersos están los posibles valores de \( X \) respecto a la media. Para la distribución binomial, la varianza se obtiene con:

\( \sigma^2 = Var(X) = np(1-p) \)

Y la desviación estándar, que es simplemente la raíz cuadrada de la varianza, se calcula como:

\( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \)

Observa que \( \sigma^2 \) depende del producto \( p(1-p) \), que alcanza su valor máximo cuando \( p = 0.5 \) y se hace cada vez más pequeño a medida que \( p \) se acerca a 0 o a 1. Esto significa que un experimento binomial es más "impredecible" (mayor dispersión) cuando el éxito y el fracaso son igualmente probables, y menos disperso cuando un resultado domina claramente sobre el otro. Este mismo tipo de razonamiento sobre media y varianza aparece de forma más general en la lección de histograma de probabilidad, media, varianza y desviación estándar.

Una fabrica produce piezas y se sabe que el 20 por ciento de ellas presenta un defecto menor. Si se inspeccionan \( n = 25 \) piezas de forma independiente, sea \( X \) el numero de piezas defectuosas. Aquí \( p = 0.2 \).

Media: \( \mu = np = 25 \times 0.2 = 5 \). Se esperan en promedio 5 piezas defectuosas de cada 25 inspeccionadas.

Varianza: \( \sigma^2 = np(1-p) = 25 \times 0.2 \times 0.8 = 4 \).

Desviación estándar: \( \sigma = \sqrt{4} = 2 \). En promedio, el numero real de piezas defectuosas se aleja unas 2 unidades de la media de 5.

Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de \( p = 0.7 \) de encestar cada tiro libre y realiza \( n = 12 \) tiros. Sea \( X \) el numero de tiros encestados.

Media: \( \mu = 12 \times 0.7 = 8.4 \) tiros encestados en promedio.

Varianza: \( \sigma^2 = 12 \times 0.7 \times 0.3 = 2.52 \).

Desviación estándar: \( \sigma = \sqrt{2.52} \approx 1.587 \). Esto indica que el numero de tiros encestados suele variar poco más de 1.5 unidades alrededor de 8.4.

La siguiente grafica muestra las probabilidades de una binomial con \( n = 6 \) y \( p = 0.5 \). Nota como las barras son simétricas y más altas cerca de la media \( \mu = np = 3 \), y disminuyen a medida que \( X \) se aleja de ese valor central, exactamente como predice la desviación estándar.

Las formulas \( \mu = np \) y \( \sigma = \sqrt{np(1-p)} \) son propias de la distribución binomial, pero conviene distinguirlas de las de distribuciones parecidas. Por ejemplo, la distribución binomial negativa cuenta el numero de ensayos necesarios hasta lograr un numero fijo de éxitos, y por eso usa formulas distintas para su media y varianza, aunque comparte la misma idea de ensayos independientes con probabilidad constante \( p \). Reconocer si el numero de ensayos es fijo (binomial) o si lo fijo es el numero de éxitos (binomial negativa) es clave para elegir la formula correcta.

Un error frecuente es confundir la varianza con la desviación estándar, olvidando sacar la raíz cuadrada al final. Otro error es usar \( 1 - p \) incorrectamente, por ejemplo aplicando la probabilidad de éxito \( p \) en ambos factores en lugar de usar \( p \) y \( 1 - p \). También es importante verificar que el experimento cumpla las condiciones de una binomial (numero fijo de ensayos, dos resultados posibles, ensayos independientes y probabilidad de éxito constante) antes de usar estas formulas, ya que no se aplican, por ejemplo, cuando la probabilidad cambia entre ensayos.

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