Funciones Racionales y sus Gráficas

Una función racional es el cociente de dos polinomios, es decir, se escribe como \( f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} \), donde \( p(x) \) y \( q(x) \) son polinomios y \( q(x) \ne 0 \). Este tipo de función se relaciona directamente con la idea de dividir funciones, ya que una función racional es exactamente el resultado de dividir un polinomio entre otro.

El ejemplo más simple de función racional es \( f(x) = \dfrac{1}{x} \). A partir de esta función básica se pueden construir muchas otras aplicando desplazamientos o estiramientos, como los que se estudian en las lecciones de traslaciones verticales de funciones.

Como no se puede dividir entre cero, el dominio de \( f(x) = \dfrac{p(x)}{q(x)} \) excluye todo valor de \(x\) que haga \( q(x) = 0 \). Por ejemplo, si \( f(x) = \dfrac{x+3}{x-2} \), el denominador se anula cuando \( x = 2 \), así que el dominio es todos los números reales excepto \( x = 2 \).

Una asíntota vertical aparece en cada valor de \(x\) donde el denominador se hace cero y ese factor no se cancela con el numerador. Cerca de esa recta vertical, la gráfica se dispara hacia arriba o hacia abajo sin llegar a tocarla.

Para \( f(x) = \dfrac{1}{x-2} \), el denominador es cero en \( x = 2 \), por lo que hay una asíntota vertical en esa recta.

La asíntota horizontal describe el comportamiento de la función cuando \(x\) crece o decrece sin límite, y se determina comparando el grado del numerador con el del denominador.

• Si el grado de \( p(x) \) es menor que el de \( q(x) \), la asíntota horizontal es \( y = 0 \).
• Si los grados son iguales, la asíntota horizontal es el cociente de los coeficientes principales.
• Si el grado de \( p(x) \) es mayor que el de \( q(x) \), no hay asíntota horizontal (puede existir una asíntota oblicua).

Por ejemplo, en \( f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3} \) los grados del numerador y el denominador son iguales, así que la asíntota horizontal es \( y = 2 \), el cociente de los coeficientes principales.

Un hueco ocurre cuando un factor aparece tanto en el numerador como en el denominador y se cancela. Por ejemplo, en \( f(x) = \dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2} \), el factor \( (x-2) \) se cancela y la función se simplifica a \( f(x) = x+1 \), pero sigue sin estar definida en \( x = 2 \). En la gráfica, esto se representa con un pequeño círculo abierto en ese punto, no con una asíntota.

Para hallar la intersección con el eje \(y\), se evalúa \( f(0) \), siempre que \( x = 0 \) esté en el dominio. Para hallar las intersecciones con el eje \(x\), se resuelve \( p(x) = 0 \), es decir, se buscan los valores de \(x\) que anulan el numerador, siempre que no anulen también el denominador.

En \( f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3} \), la intersección con el eje \(y\) es \( f(0) = -\dfrac{1}{3} \), y la intersección con el eje \(x\) se obtiene resolviendo \( 2x+1 = 0 \), lo que da \( x = -0.5 \).

Para trazar la gráfica de una función racional de forma ordenada, sigue estos pasos:

1. Simplifica la función y anota cualquier hueco que aparezca al cancelar factores.
2. Encuentra el dominio identificando los valores que anulan el denominador simplificado.
3. Determina las asíntotas verticales a partir de los ceros del denominador simplificado.
4. Determina la asíntota horizontal comparando los grados del numerador y el denominador.
5. Calcula las intersecciones con los ejes \(x\) y \(y\).
6. Ubica algunos puntos adicionales entre las asíntotas para ver el comportamiento de la curva.

Muchas funciones racionales, como \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), presentan simetría; esta idea se relaciona con lo que se estudia en funciones pares e impares, ya que \( \dfrac{1}{x} \) es una función impar respecto al origen.

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