Volumen por Secciones Transversales Conocidas

Hasta ahora, para calcular volúmenes de sólidos generados a partir de una región plana usábamos el método del disco o el método de cascarones, ambos pensados para sólidos de revolución. Pero no todos los sólidos se generan girando una región alrededor de un eje. En muchos problemas, el sólido se construye apilando infinitas rebanadas delgadas (cuadrados, triángulos, semicírculos, etcétera) perpendiculares a un eje, y cada rebanada tiene un área que depende de \( x \) o de \( y \).

La idea central es la misma que en cualquier aplicación de la integral definida: cortamos el sólido en rebanadas muy finas, aproximamos el volumen de cada rebanada como el área de su sección transversal multiplicada por un espesor infinitesimal \( dx \), y luego sumamos (integramos) todas esas rebanadas.

Si un sólido está entre \( x = a \) y \( x = b \), y \( A(x) \) es el área de la sección transversal perpendicular al eje \( x \) en la posición \( x \), entonces el volumen del sólido es:

\( V = \int_{a}^{b} A(x)\, dx \)

Todo el trabajo de esta lección consiste en encontrar la expresión correcta de \( A(x) \) a partir de la información geométrica de cada sección, y después integrar. El proceso general tiene tres pasos:

1. Dibujar la región base y determinar la longitud \( s(x) \) que sirve como lado, diámetro o radio de la sección transversal en cada punto \( x \).
2. Escribir el área \( A(x) \) según la forma geométrica de la sección (cuadrado, triángulo, semicírculo, etcétera).
3. Integrar \( A(x) \) entre los límites \( a \) y \( b \) que corresponden a la región base.

Supongamos que la base de un sólido es la región entre la curva \( y = \sqrt{x} \) y el eje \( x \), para \( 0 \le x \le 4 \). Las secciones transversales perpendiculares al eje \( x \) son cuadrados cuyo lado va desde el eje \( x \) hasta la curva.

En cada \( x \), el lado del cuadrado es \( s(x) = \sqrt{x} \), así que el área es \( A(x) = \left(\sqrt{x}\right)^2 = x \). El volumen es:

\( V = \int_{0}^{4} x\, dx = \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{16}{2} - 0 = 8 \)

El siguiente esquema muestra cómo se ve una rebanada cuadrada de espesor \( dx \) dentro del sólido:

Ahora consideremos la misma región base entre \( y = \sqrt{x} \) y el eje \( x \), para \( 0 \le x \le 4 \), pero esta vez cada sección transversal es un triángulo equilátero cuyo lado es \( s(x) = \sqrt{x} \).

El área de un triángulo equilátero de lado \( s \) es \( A = \dfrac{\sqrt{3}}{4}s^2 \). Sustituyendo \( s(x) = \sqrt{x} \):

\( A(x) = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left(\sqrt{x}\right)^2 = \dfrac{\sqrt{3}}{4}x \)

El volumen queda:

\( V = \int_{0}^{4} \dfrac{\sqrt{3}}{4}x\, dx = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\cdot 8 = 2\sqrt{3} \)

Observa que el planteamiento no cambia: la única diferencia con el ejemplo anterior es la fórmula de área que corresponde a la forma de la sección.

Cuando las secciones transversales son semicírculos, el lado \( s(x) \) de la región base funciona como el diámetro del semicírculo, no como su radio. El área de un semicírculo de diámetro \( s \) es \( A = \dfrac{\pi}{8}s^2 \), porque el radio es \( s/2 \) y el área de un círculo completo sería \( \pi \left(\dfrac{s}{2}\right)^2 \), que al dividir entre dos da \( \dfrac{\pi}{8}s^2 \).

Con la misma región base \( s(x) = \sqrt{x} \) en \( 0 \le x \le 4 \):

\( V = \int_{0}^{4} \dfrac{\pi}{8}x\, dx = \dfrac{\pi}{8}\left[\dfrac{x^2}{2}\right]_{0}^{4} = \dfrac{\pi}{8}\cdot 8 = \pi \)

El método del disco es, en realidad, un caso particular de esta idea: cuando la sección transversal circular proviene de girar una curva alrededor de un eje, el radio \( s(x) \) coincide con el valor de la función, y \( A(x) = \pi \left[f(x)\right]^2 \). Lo que distingue a los sólidos con secciones transversales conocidas es que la sección no siempre surge de una revolución: puede ser cualquier forma geométrica cuyo tamaño dependa de \( x \), definida directamente en el enunciado del problema.

Antes de resolver estos problemas conviene tener claro cómo se describe una región entre curvas, ya que la longitud \( s(x) \) casi siempre es una diferencia de funciones, como en áreas entre curvas. Si en cambio el sólido gira alrededor de un eje y la sección es un anillo o un disco, ese caso se trata mejor con el método del disco.

• Confundir el lado con el diámetro: en secciones circulares o semicirculares, \( s(x) \) suele ser el diámetro, así que el radio es \( s(x)/2 \).
• Olvidar elevar al cuadrado la longitud \( s(x) \) antes de multiplicar por la constante de la fórmula de área.
• Usar los límites de integración de la variable equivocada: si las secciones son perpendiculares al eje \( y \), la integral debe plantearse en términos de \( y \), no de \( x \).
• Olvidar simplificar \( s(x) \) antes de integrar, lo que suele complicar innecesariamente el cálculo del área \( A(x) \).

Related lessons

• Es Calculus Help