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Ejemplos
Lecciones
  1. Problemas utilizando la regla del Punto Medio:

    Aproxima el cálculo de la siguiente integral utilizando la regla del punto medio con 5 subintervalos: 49xdx\int^9_4 \sqrt{x} dx

    1. Problemas utilizando la regla del Trapecio:

      Aproxima el cálculo de la siguiente integral utilizando la regla del trapecio con 4 subintervalos:01exdx\int^1_0 e^{x} dx

      1. Problemas utilizando la regla de Simpson:

        Aproxima el cálculo de la siguiente integral utilizando la regla de Simpson con 4 subintervalos: 24x2dx\int^4_2 \sqrt{x-2} dx

        Notas del Tema
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        Hay tres maneras de estimar el valor de una integral definida con subintervalos nn:

        1. La regla del punto medio
        2. La regla del trapecio
        3. La regla de Simpson

        Comencemos por explicar la Regla del Punto Medio:


        Mn=abf(x)dxΔx[f(x1)+f(x2)+...+f(xn1)+f(xn)]M_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \Delta x[f(x_{1})+f(x_{2})+...+f(x_{n-1})+f(x_{n})]


        Donde xix_{i} es el punto medio de cada intervalo.


        La regla del Trapecio:

        Tn=abf(x)dxΔx2[f(x0)+2f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn1)+f(xn)]T_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{2} [f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+...+2f(x_{n-1})+f(x_{n})]


        La regla de Simpson:

        Sn=abf(x)dxΔx3[f(x0)+4f(x1)+2f(x2)+...+2f(xn2)+4f(xn1)+f(xn)]S_{n} = \int^b_a f(x)dx \approx \frac{\Delta x}{3} [f(x_{0})+4f(x_{1})+2f(x_{2})+...+2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1})+f(x_{n})]


        Si ff'' es continua en [a,ba, b] y existe un valor MM tal que f(x)M|f''(x)| \leq M para toda x[a,b]x \in [a, b], entonces podemos utilizar las siguientes fórmulas para calcular el error en las reglas del punto medio y del trapecio:

        1. Fórmula del error en la Regla del Punto Medio:
          EMM(ba)324n2E_{M} \leq \frac{M(b-a)^{3}}{24n^{2}}

        2. Fórmula del error en la Regla del Trapecio:
          ETM(ba)312n2E_{T} \leq \frac{M(b-a)^{3}}{12n^{2}}
        3. Si f(4)(x)f^{(4)} (x) es continua en [a,b][a, b] y existe un valor KK tal que f(4)(x)K|f^{(4)} (x)| \leq K para toda x[a,b]x \in [a, b], entonces podemos utilizar la siguiente fórmula para calcular el error en la regla de Simpson:


        4. Fórmula del error en la Regla de Simpson:
          ESK(ba)5180n4E_{S} \leq \frac{K(b-a)^{5}}{180n^{4}}

        A continuación, una fórmula que puede ser de uso cuando se calculan los puntos de interés en la regla del trapecio y la regla de Simpson:

        xi=a+iΔxx_{i} = a + i\Delta x

        Donde xix_{i} es el punto de interés en ii.