Introducción a las Sucesiones Matemáticas

Una sucesión matemática es una lista ordenada de números que sigue una regla. Cada número de la lista se llama término, y se identifica con un subíndice que indica su posición: \( a_1 \) es el primer término, \( a_2 \) el segundo, \( a_3 \) el tercero, y en general \( a_n \) representa el término que ocupa la posición \( n \). Formalmente, una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales \( n = 1, 2, 3, \ldots \)

La sucesión completa se escribe como \( \{a_n\} \) o como la lista \( a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots \). Esta notación es la base de todo el cálculo con sucesiones y series, así que es importante dominarla antes de avanzar hacia temas como la introducción a series infinitas.

Muchas sucesiones se definen mediante una fórmula explícita, es decir, una expresión que calcula \( a_n \) directamente a partir de \( n \). Por ejemplo, si \( a_n = \dfrac{1}{n} \), entonces los primeros términos son:

Observa que a medida que \( n \) aumenta, los términos se hacen cada vez más pequeños y se acercan a cero. Este comportamiento a largo plazo es exactamente lo que se estudia cuando se habla del límite de una sucesión.

No todas las sucesiones se definen con una fórmula explícita. Algunas se definen de forma recursiva, dando el primer término (o los primeros términos) y una regla para obtener cada término a partir de los anteriores. Un ejemplo clásico es la sucesión de Fibonacci:

\( a_1 = 1, \quad a_2 = 1, \quad a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \) para \( n \ge 3 \)

Con esta regla, el tercer término es \( a_3 = a_2 + a_1 = 1 + 1 = 2 \), el cuarto es \( a_4 = a_3 + a_2 = 2 + 1 = 3 \), y así sucesivamente. Antes de estudiar propiedades más avanzadas como el crecimiento o la acotación de estas listas, conviene revisar las sucesiones monótonas y acotadas, donde se analiza si una sucesión siempre crece, siempre decrece o permanece dentro de ciertos límites.

Aunque una sucesión solo tiene sentido para valores enteros de \( n \), es útil dibujar la curva continua asociada a su fórmula para visualizar hacia dónde tienden los términos. La siguiente gráfica muestra la función \( f(x) = \dfrac{1}{x} \), que sirve como guía visual para la sucesión \( a_n = \dfrac{1}{n} \):

Cada punto marcado corresponde a un término real de la sucesión. Esta representación ayuda a anticipar el resultado antes de calcular el límite de forma algebraica.

El comportamiento de una sucesión cuando \( n \) tiende a infinito se describe con el límite \( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n \). Si este límite existe y es un número finito \( L \), se dice que la sucesión converge a \( L \). Si el límite no existe o es infinito, la sucesión diverge.

Por ejemplo, la sucesión \( a_n = \dfrac{1}{n} \) converge a \( 0 \), mientras que la sucesión \( a_n = n \) diverge porque sus términos crecen sin límite. Esta idea de convergencia es exactamente la que se necesita para entender más adelante por qué ciertas sumas infinitas, como la que aparece en la convergencia y divergencia de series geométricas, se comportan de manera predecible.

Determina si la sucesión \( a_n = \dfrac{2n+1}{n+3} \) converge o diverge, y calcula su límite si existe.

Se divide el numerador y el denominador entre \( n \):

\( a_n = \dfrac{2n+1}{n+3} = \dfrac{2 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{3}{n}} \)

Cuando \( n \to \infty \), tanto \( \frac{1}{n} \) como \( \frac{3}{n} \) tienden a \( 0 \), por lo que:

\( \displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = \dfrac{2 + 0}{1 + 0} = 2 \)

La sucesión converge a \( 2 \). Este tipo de análisis del límite es la base para decidir si una serie construida a partir de una sucesión tendrá una suma finita o no.

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