Divergencia de la serie armonica

La serie armónica es uno de los ejemplos más famosos en el estudio de las series infinitas: sus términos se hacen cada vez más pequeños, pero la suma total nunca se detiene. En esta lección vas a entender exactamente por qué esta serie diverge, aunque a primera vista parezca que debería converger.

La serie armónica se define como la suma de los recíprocos de todos los números naturales:

\( \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{5} + \cdots \)

Si ya estudiaste la introducción a series infinitas, sabes que una serie converge si la sucesión de sus sumas parciales tiene un límite finito, y diverge si esa sucesión crece sin límite. En el caso de la serie armónica, cada término \( \dfrac{1}{n} \) tiende a cero cuando \( n \) crece, lo cual podría hacer pensar que la suma se estabiliza. Sin embargo, eso no ocurre: la serie diverge.

Una forma intuitiva de ver por qué la serie armónica diverge es comparar cada término \( \dfrac{1}{n} \) con el área bajo la curva \( y = \dfrac{1}{x} \) entre \( n \) y \( n+1 \). Como la función \( \dfrac{1}{x} \) es decreciente, el rectángulo de altura \( \dfrac{1}{n} \) y base 1 siempre cubre un área mayor o igual que el área bajo la curva en ese intervalo.

El área bajo esta curva desde 1 hasta el infinito corresponde a una integral impropia que también diverge, ya que \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x}\,dx \) no tiene un valor finito. Como la suma de la serie es al menos tan grande como esa área, la serie armónica también debe diverger.

La demostración clásica, atribuida a Nicolás de Oresme, agrupa los términos en bloques cuyas cantidades de elementos son potencias de 2:

\( 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8}\right) + \cdots \)

Observa que cada término dentro de un bloque es mayor o igual que el último término de ese mismo bloque. Por ejemplo, en el bloque \( \dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{8} \), cada fracción es al menos \( \dfrac{1}{8} \), y hay 4 términos, así que el bloque completo suma al menos \( 4 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{1}{2} \).

En general, el bloque que va desde \( \dfrac{1}{2^k+1} \) hasta \( \dfrac{1}{2^{k+1}} \) tiene \( 2^k \) términos, cada uno mayor o igual que \( \dfrac{1}{2^{k+1}} \), así que ese bloque suma al menos:

\( 2^k \times \dfrac{1}{2^{k+1}} = \dfrac{1}{2} \)

Como cada bloque agrega al menos \( \dfrac{1}{2} \) a la suma total, y hay infinitos bloques, la suma parcial hasta el bloque \( n \) cumple:

\( S_{2^n} \ge 1 + \dfrac{n}{2} \)

Cuando \( n \) tiende a infinito, el lado derecho crece sin límite, así que la sucesión de sumas parciales también crece sin límite. Esto confirma que la serie armónica diverge.

Para ver qué tan lenta es esta divergencia, calcula algunas sumas parciales:

\( S_1 = 1 \), \( S_2 = 1.5 \), \( S_4 \approx 2.083 \), \( S_8 \approx 2.718 \), \( S_{16} \approx 3.381 \)

La suma crece, pero muy despacio. De hecho, hace falta sumar cientos de miles de términos solo para superar el valor 14. Esto es justamente lo que predice la demostración por agrupamiento: la suma parcial \( S_{2^n} \) crece aproximadamente como \( \dfrac{n}{2} \), y como \( n \) puede crecer sin límite, también lo hace la suma.

La serie armónica pertenece a la familia de series \( \displaystyle \sum \dfrac{1}{n^p} \), conocidas como series \( p \). Se puede demostrar, usando ideas similares a la convergencia y divergencia de series infinitas, que estas series convergen cuando \( p > 1 \) y divergen cuando \( p \le 1 \). La serie armónica corresponde exactamente al caso \( p = 1 \), el límite exacto entre convergencia y divergencia, lo cual explica por qué su comportamiento es tan delicado.

Este resultado también se conecta con el estudio de las sucesiones monótonas y acotadas: la sucesión de sumas parciales de la serie armónica es monótona creciente, pero no está acotada superiormente, por lo que no puede converger a un límite finito.

• La serie armónica es \( \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n} \), y aunque sus términos tienden a cero, la serie diverge.
• El agrupamiento de términos en bloques de tamaño \( 2^k \) muestra que cada bloque aporta al menos \( \dfrac{1}{2} \) a la suma.
• La comparación con el área bajo \( y = \dfrac{1}{x} \) ofrece una segunda forma de justificar la divergencia.
• La serie armónica es el caso frontera \( p = 1 \) dentro de la familia de series \( \sum \dfrac{1}{n^p} \).

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