Área de Curvas Polares

Cuando una curva se describe en coordenadas polares mediante una función \( r = f(\theta) \), la región que encierra no se calcula con la fórmula usual del área bajo una curva cartesiana. En su lugar, se acumulan pequeños sectores circulares a medida que \(\theta\) recorre un intervalo. Esta idea da lugar a una fórmula de integración distinta, pensada específicamente para regiones descritas en términos de \(r\) y \(\theta\).

Para una curva \( r = f(\theta) \) continua y no negativa entre \(\theta = \alpha\) y \(\theta = \beta\), el área de la región barrida es:

\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} r^2\, d\theta = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \left[f(\theta)\right]^2 d\theta \)

De dónde viene el factor \( \frac{1}{2}r^2 \)

La fórmula surge de aproximar la región con muchos sectores circulares muy delgados. Un sector de radio \(r\) y ángulo \( \Delta\theta \) tiene área aproximada \( \dfrac{1}{2} r^2 \Delta\theta\), igual que la fórmula del área de un sector circular. Al sumar todos estos sectores y hacer que \( \Delta\theta \to 0 \), la suma se convierte en la integral \( \dfrac{1}{2}\int r^2\, d\theta \).

1. Grafica o visualiza la curva \( r = f(\theta) \) para identificar la región deseada.
2. Determina los ángulos \( \alpha \) y \( \beta \) donde comienza y termina esa región, revisando en qué puntos \( r = 0 \) si la curva pasa por el origen.
3. Sustituye \(f(\theta)\) en la fórmula \( A = \dfrac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta} r^2\, d\theta \).
4. Resuelve la integral, usando identidades trigonométricas como \( \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} \) cuando sea necesario.
5. Evalúa entre los límites y simplifica el resultado.

Calcula el área encerrada por la cardioide \( r = 1 + \cos\theta \).

Como la cardioide se traza completamente cuando \(\theta\) recorre \( [0, 2\pi] \), se usa:

\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} (1+\cos\theta)^2\, d\theta \)

Expandiendo el binomio: \( (1+\cos\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta \). Usando \( \cos^2\theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2} \):

\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \left(\dfrac{3}{2} + 2\cos\theta + \dfrac{\cos 2\theta}{2}\right) d\theta \)

Integrando y evaluando entre \(0\) y \(2\pi\), todos los términos con seno se anulan y queda:

\( A = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{3}{2}\cdot 2\pi\right) = \dfrac{3\pi}{2} \)

El área encerrada por la cardioide es \( \dfrac{3\pi}{2} \).

Encuentra el área de un solo pétalo de la rosa \( r = \cos(2\theta) \).

Un pétalo comienza y termina donde \( r = 0 \). Resolviendo \( \cos(2\theta) = 0 \) cerca del origen se obtiene \( \theta = -\dfrac{\pi}{4} \) y \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \), que son los límites de un pétalo completo.

\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos^2(2\theta)\, d\theta \)

Usando \( \cos^2(2\theta) = \dfrac{1+\cos 4\theta}{2} \) y evaluando la integral resultante entre los límites, se obtiene:

\( A = \dfrac{\pi}{8} \)

Cada pétalo de esta rosa tiene área \( \dfrac{\pi}{8} \). Por simetría, si la curva completa tiene varios pétalos idénticos, basta calcular uno y multiplicar por el número total de pétalos.

Cuando una región está limitada por una curva exterior \( r_{o}(\theta) \) y una interior \( r_{i}(\theta) \) sobre el mismo intervalo angular, el área entre ambas se obtiene restando las contribuciones de cada una:

\( A = \dfrac{1}{2}\displaystyle\int_{\alpha}^{\beta} \left(r_{o}^2 - r_{i}^2\right) d\theta \)

Es fundamental identificar primero los ángulos donde las dos curvas se cruzan, ya que esos puntos suelen fijar los límites \( \alpha \) y \( \beta \) de la integral.

• Olvidar el factor \( \dfrac{1}{2} \) frente a la integral.
• Usar límites de \(\theta\) que recorren la curva dos veces, duplicando el área calculada.
• No verificar si \(r\) se vuelve negativo dentro del intervalo, lo que puede generar regiones superpuestas.
• Confundir esta fórmula con la de área bajo una curva cartesiana o con la de área de ecuaciones paramétricas, que sigue un procedimiento distinto.

Antes de calcular áreas, conviene tener claro cómo se grafican y se comportan las curvas en el plano polar. Una vez dominado el cálculo de áreas, el siguiente paso natural es estudiar las tangentes de curvas polares, que usan derivadas en lugar de integrales para describir la dirección de la curva en cada punto.

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