Resta de Funciones: (f menos g)(x)

Restar funciones es una operación que combina dos funciones, \( f(x) \) y \( g(x) \), para crear una nueva función llamada \( (f - g)(x) \). Esta operación forma parte del álgebra de funciones, junto con la suma, la multiplicación y la división, y es una extensión natural de lo que ya sabes sobre la notación de funciones.

Para restar dos funciones simplemente restas sus expresiones algebraicas:

\( (f - g)(x) = f(x) - g(x) \)

El resultado es una función completamente nueva, evaluable en cualquier valor de \( x \) que pertenezca al dominio de ambas funciones originales. Es importante recordar que el orden importa: \( (f - g)(x) \) no es lo mismo que \( (g - f)(x) \), a menos que ambas expresiones coincidan.

Supongamos que \( f(x) = x^2 + 1 \) y \( g(x) = 2x - 1 \). Para encontrar \( (f - g)(x) \), sustituimos ambas expresiones y simplificamos:

\( (f - g)(x) = (x^2 + 1) - (2x - 1) \)

\( (f - g)(x) = x^2 + 1 - 2x + 1 \)

\( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 2 \)

Observa que el signo negativo se distribuye a cada término de \( g(x) \), cambiando el signo de \( 2x \) y de \( -1 \). Este paso es donde más se cometen errores, así que revisa siempre los signos con cuidado antes de combinar términos semejantes.

Si quieres evaluar \( (f - g)(x) \) en un valor concreto, por ejemplo \( x = 3 \), puedes sustituir directamente en la función resultante o restar los valores individuales:

\( f(3) = 3^2 + 1 = 10 \) y \( g(3) = 2(3) - 1 = 5 \), entonces \( (f - g)(3) = 10 - 5 = 5 \).

Ambos caminos, sustituir primero en \( (f - g)(x) \) o restar los valores calculados por separado, siempre dan el mismo resultado.

El dominio de \( (f - g)(x) \) es la intersección de los dominios de \( f(x) \) y \( g(x) \): solo los valores de \( x \) donde ambas funciones originales están definidas pueden usarse en la función resta. Si necesitas repasar cómo identificar estos valores, consulta la lección sobre dominio y rango de una función.

Usando el ejemplo anterior, \( (f - g)(x) = x^2 - 2x + 2 \) es una parábola. Aunque \( g(x) \) es lineal, el resultado sigue siendo cuadrático porque el término \( x^2 \) proviene de \( f(x) \) y domina el comportamiento general de la nueva función.

La resta de funciones es una de varias formas de combinar dos funciones en una sola expresión. Si en cambio necesitas evaluar una función dentro de otra, ese proceso se llama composición y se explica en la lección de funciones compuestas.

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