Que es una Funcion Matematica: Identificando Funciones
Esta leccion explica que es una funcion matematica y como identificarla a partir de pares ordenados, tablas de valores, diagramas de mapeo y graficas, usando la prueba de la linea vertical con ejemplos resueltos paso a paso.
Que es una funcion matematica
Una funcion es una regla que relaciona dos conjuntos de valores, la entrada (llamada dominio) y la salida (llamada rango), de modo que cada valor de entrada \(x\) produce exactamente un valor de salida \(y\). Si un mismo valor de \(x\) llegara a producir dos valores distintos de \(y\), la relacion ya no seria una funcion.
Identificar si una relacion es o no una funcion es una habilidad basica antes de estudiar temas como la relacion entre dos variables o el dominio y rango de una funcion. En esta leccion veremos cuatro formas de reconocer una funcion: pares ordenados, tablas de valores, diagramas de mapeo y graficas.
Identificando funciones con pares ordenados y tablas
La forma mas directa de revisar si una relacion es una funcion es observar los pares ordenados \((x, y)\). Si algun valor de \(x\) se repite con un valor de \(y\) diferente, la relacion no es una funcion.
Ejemplo 1. Considera el conjunto de pares ordenados: \((1, 2)\), \((2, 4)\), \((3, 6)\), \((4, 8)\). Cada valor de \(x\) aparece una sola vez, asi que esta relacion si es una funcion.
Ejemplo 2. Considera ahora: \((1, 3)\), \((1, 5)\), \((2, 7)\). Aqui el valor \(x = 1\) esta asociado con dos valores distintos de \(y\) (\(3\) y \(5\)), por lo que esta relacion no es una funcion.
Esta misma idea se aplica a una tabla de valores: recorre la columna de \(x\) y comprueba que ningun numero se repita con un \(y\) distinto.
El valor x = 1 repetido con dos valores distintos de y rompe la definicion de funcion.
Diagramas de mapeo
Un diagrama de mapeo dibuja el dominio y el rango como dos conjuntos y usa flechas para mostrar la relacion. Si de algun elemento del dominio salen dos flechas hacia elementos distintos del rango, la relacion no es una funcion.
El elemento 1 apunta hacia dos elementos distintos del rango, por lo que este diagrama no representa una funcion.
La prueba de la linea vertical
Cuando una relacion se presenta como grafica, la manera mas rapida de identificar una funcion es la prueba de la linea vertical: si cualquier linea vertical que traces sobre la grafica la toca en un solo punto, entonces la grafica representa una funcion. Si alguna linea vertical la toca en dos o mas puntos, no es una funcion.
Esto tiene sentido porque una linea vertical fija un valor de \(x\); si esa linea cruza la grafica mas de una vez, significa que ese \(x\) tiene mas de un valor de \(y\) asociado.
Ejemplo 3. La grafica de \(y = x^2 - 4\) es una parabola. Cualquier linea vertical que dibujes cruzara la curva en un solo punto, asi que representa una funcion.
Cualquier linea vertical corta la parabola una sola vez, por lo que la grafica es una funcion.
En cambio, la grafica de un circulo no pasa la prueba: una linea vertical trazada por el centro del circulo lo corta en dos puntos (arriba y abajo), asi que un circulo no es la grafica de una funcion.
Como aplicar estas ideas
Para decidir si una relacion es una funcion, sigue este orden de revision:
1. Si tienes pares ordenados o una tabla, busca valores repetidos de \(x\) con \(y\) distinto.
2. Si tienes un diagrama de mapeo, verifica que cada elemento del dominio tenga una sola flecha.
3. Si tienes una grafica, aplica la prueba de la linea vertical.
Una vez que sabes identificar una funcion, puedes avanzar hacia como se escribe y se lee usando la notacion de funciones, o explorar casos particulares como la variacion directa.