Propiedad del Producto de Potencias

Una potencia representa una multiplicación repetida de un mismo número o variable, llamada base. Cuando multiplicas dos potencias que tienen la misma base, no necesitas expandir cada una por separado: puedes sumar sus exponentes directamente. Esta idea es la propiedad del producto de potencias, y se escribe así:

\( x^a \cdot x^b = x^{a+b} \)

La condición clave es que las dos potencias tengan exactamente la misma base \( x \). Si las bases son distintas, esta regla no se puede aplicar directamente.

La regla tiene sentido si recuerdas qué significa un exponente. Por ejemplo, \( x^3 \) significa \( x \cdot x \cdot x \), y \( x^4 \) significa \( x \cdot x \cdot x \cdot x \). Si multiplicas ambas expresiones, en total tienes siete factores de \( x \), es decir, \( x^7 \).

Este conteo directo de factores es la razón por la que, en general, \( x^a \cdot x^b = x^{a+b} \): simplemente estás juntando \( a \) copias de \( x \) con \( b \) copias más de \( x \).

Ejemplo 1. Multiplica \( x^5 \cdot x^2 \). Como ambas potencias tienen la misma base \( x \), sumas los exponentes: \( x^5 \cdot x^2 = x^{5+2} = x^7 \).

Ejemplo 2. Multiplica \( 2x^2 \cdot 3x^5 \). Primero multiplica los coeficientes numéricos y luego aplica la regla del producto a las potencias: \( 2 \cdot 3 = 6 \) y \( x^2 \cdot x^5 = x^7 \), por lo que el resultado es \( 6x^7 \).

Ejemplo 3. La regla también funciona con más de dos factores: \( x^2 \cdot x^3 \cdot x^4 = x^{2+3+4} = x^9 \). Simplemente sumas todos los exponentes de la misma base.

Ejemplo 4. Si aparece un exponente negativo, como en \( x^5 \cdot x^{-2} \), la suma de exponentes sigue funcionando igual: \( x^{5+(-2)} = x^3 \). Para repasar cómo se comportan estos casos, revisa la lección de exponente negativo.

Un error frecuente es sumar los exponentes cuando las bases no son iguales, por ejemplo intentar simplificar \( x^3 \cdot y^4 \) como si tuviera una sola base: eso no es válido, porque \( x \) y \( y \) son bases distintas.

Otro error común es confundir esta propiedad con elevar una potencia a otro exponente, como en \( (x^3)^4 \). En ese caso los exponentes se multiplican, no se suman; esa situación corresponde a otra regla distinta.

La propiedad del producto de potencias es una de varias leyes que te permiten simplificar expresiones con exponentes. Cuando en lugar de multiplicar tienes una división de potencias con la misma base, en su lugar restas los exponentes; puedes ver el procedimiento completo en la lección de cociente de potencias de igual base.

Cuando una expresión combina varias operaciones, productos, cocientes y potencias de potencias, en la misma expresión, conviene aplicar todas las reglas juntas de forma ordenada. Ese proceso se explica en Combinando las leyes de los exponentes, que retoma la regla del producto como uno de sus pasos.

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