Radio e intervalo de convergencia con series de potencias

En esta lección usaremos series de potencias de forma:

$\sum_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$

Donde $c_n$ son los coeficientes de cada término en la serie y $a$ es un número.

Para encontrar el radio de convergencia de la serie de potencias se necesita usar el criterio de d’Alembert o el criterio de la raíz de Cauchy.

Si $A_n=c_n(x-a)^n$. y usamos:

• El criterio de d’Alembert:
  $L=\lim$_{n →$\infty$}$|\frac{A_{n+1}}{A_n}|$
• El criterio de raíz de Cauchy:
  $L=\lim$_{n →$\infty$}$|A_n|^{\frac{1}{n}}$

Donde la convergencia ocurre en $L$< $1$ para ambas pruebas. Más precisamente, se puede decir que la convergencia ocurre cuando $|x-a|$ < $R$, donde es el radio de convergencia.

El intervalo de convergencia es el valor de todas las $x$'s, para el cual la serie de potencias converge. Es importante también checar si la serie de potencias converge cuando $|x-a|=R$.