Definir Curvas con Ecuaciones Parametricas

Hasta ahora, la mayoria de las curvas que has graficado se describen con una sola ecuacion, como \( y = f(x) \). Pero muchas curvas (una trayectoria de proyectil, una circunferencia recorrida en el tiempo, una espiral) no se pueden escribir facilmente asi, porque para un mismo valor de x puede haber varios valores de y. La solucion es introducir una tercera variable, llamada parametro, que suele representarse con t.

Una curva parametrica queda definida por un par de ecuaciones

\( x = f(t) \), \quad \( y = g(t) \)

donde t recorre un intervalo de valores (el dominio del parametro). Cada valor de t produce un punto \( (x, y) \) en el plano, y al ir variando t se traza la curva completa. Piensa en t como el tiempo: en cada instante t, la posicion de un objeto es \( (f(t), g(t)) \).

Para trazar la curva a mano se sigue un proceso sencillo:

1. Elige varios valores de t dentro del dominio dado.
2. Calcula x y y para cada valor de t usando las dos ecuaciones.
3. Ubica los puntos \( (x, y) \) obtenidos en el plano.
4. Une los puntos en el orden en que aumenta t, y marca con una flecha la direccion de recorrido.

Ejemplo 1: una parabola en forma parametrica

Considera la curva dada por \( x = t - 1 \), \( y = t^2 + 2 \), con t en todos los numeros reales. Una tabla de valores da:

t	-2	-1	0	1	2
x	-3	-2	-1	0	1
y	6	3	2	3	6

Al graficar estos puntos y unirlos se obtiene una parabola. Como x aumenta constantemente con t, la curva se recorre siempre de izquierda a derecha:

Para confirmar que la grafica es correcta (o para reconocer el tipo de curva), suele convenir eliminar el parametro y obtener una ecuacion en x y y solamente. El metodo tipico es despejar t en una de las ecuaciones y sustituirlo en la otra.

En el ejemplo anterior, de \( x = t - 1 \) se obtiene \( t = x + 1 \). Sustituyendo en \( y = t^2 + 2 \):

\( y = (x+1)^2 + 2 \)

Esta es la ecuacion cartesiana equivalente: una parabola con vertice en \( (-1, 2) \), que corresponde al punto donde \( t = 0 \).

Ejemplo 2: una circunferencia en forma parametrica

Considera ahora \( x = 3\cos t \), \( y = 3\sin t \), con \( 0 \le t \le 2\pi \). Aqui no conviene despejar t directamente, porque las funciones trigonometricas no son inyectables en todo el dominio. En su lugar se usa la identidad pitagorica \( \cos^2 t + \sin^2 t = 1 \).

Como \( \cos t = \dfrac{x}{3} \) y \( \sin t = \dfrac{y}{3} \), al sustituir se obtiene

\( \left(\dfrac{x}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{3}\right)^2 = 1 \) → \( x^2 + y^2 = 9 \)

que es una circunferencia de radio 3 centrada en el origen. Sin embargo, la ecuacion \( x^2 + y^2 = 9 \) por si sola no dice en que direccion ni con que rapidez se recorre la curva: esa informacion solo la dan las ecuaciones parametricas y el intervalo de t. En este caso, cuando t crece de 0 a \( 2\pi \), el punto se mueve en sentido contrario a las agujas del reloj, comenzando en \( (3, 0) \):

Dos curvas pueden tener exactamente la misma grafica en el plano xy pero corresponder a ecuaciones parametricas distintas, porque el intervalo de t o la rapidez con que se recorre la curva pueden cambiar. Por eso, al definir una curva con ecuaciones parametricas siempre se debe indicar el dominio del parametro y, si es relevante, la direccion de recorrido con una flecha sobre la grafica.

Esta informacion adicional (como cambian x y y respecto a t) es justamente lo que se aprovecha mas adelante para estudiar la tangente y concavidad de ecuaciones parametricas y para calcular el area de ecuaciones parametricas.

Las ecuaciones parametricas no son la unica manera de describir curvas que no son funciones simples de x. Las coordenadas polares ofrecen otra forma de definir curvas, especialmente utiles para figuras con simetria alrededor de un punto, como espirales y rosas polares. Reconocer cuando conviene una forma parametrica y cuando conviene una forma polar es una habilidad clave para el resto del curso.

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