Estiramientos Horizontales de Funciones

Un estiramiento horizontal es una transformacion que "ensancha" la grafica de una funcion a lo largo del eje x, sin cambiar su altura. A diferencia de los desplazamientos, que mueven la grafica de lugar, o de los estiramientos verticales, que cambian que tan alta o baja es la curva, el estiramiento horizontal modifica directamente el argumento (la entrada) de la funcion.

Para entender bien esta transformacion conviene tener claro el concepto de notacion de funciones, ya que trabajaremos constantemente con expresiones del tipo \( f(x) \) y sus variaciones.

Si partimos de una funcion \( f(x) \) y formamos una nueva funcion \( g(x) = f(bx) \), el valor de \( b \) determina que tipo de transformacion horizontal ocurre:

Si \( 0 < b < 1 \), la grafica de \( f(x) \) se estira horizontalmente por un factor de \( \dfrac{1}{b} \).

Si \( b > 1 \), en cambio, la grafica se comprime horizontalmente (se "aprieta" hacia el eje y).

Es importante notar que esta transformacion actua de forma inversa a lo que uno esperaria: multiplicar \( x \) por un numero menor que 1 dentro de la funcion produce un ensanchamiento, no un encogimiento. Cada punto \( (x, y) \) de la grafica original se transforma en el punto \( \left( \dfrac{x}{b}, y \right) \).

Consideremos la funcion cuadratica \( f(x) = x^2 \). Su grafica es la parabola clasica con vertice en el origen.

Ahora definamos \( g(x) = f\left( \dfrac{x}{2} \right) = \left( \dfrac{x}{2} \right)^2 \). Aqui \( b = \dfrac{1}{2} \), que cumple \( 0 < b < 1 \), por lo que esperamos un estiramiento horizontal con factor \( \dfrac{1}{b} = 2 \).

Verifiquemoslo con un punto: en \( f(x) \), el punto \( (2, 4) \) pertenece a la grafica porque \( f(2) = 4 \). En \( g(x) \), ese mismo valor de salida se alcanza cuando \( \dfrac{x}{2} = 2 \), es decir, cuando \( x = 4 \). El punto correspondiente en la nueva grafica es \( (4, 4) \), que esta el doble de lejos del eje y que el punto original.

Observa que la grafica de \( g(x) \) tiene la misma altura maxima o minima que \( f(x) \) en cada region, pero se necesita el doble de distancia en el eje x para llegar al mismo valor de y. Esa es la esencia del estiramiento horizontal.

Si en lugar de \( b = \dfrac{1}{2} \) usaramos \( b = 2 \), tendriamos \( h(x) = f(2x) = (2x)^2 \). En este caso cada punto se acerca al eje y por un factor de \( \dfrac{1}{2} \), produciendo una compresion horizontal en vez de un estiramiento. Comparar ambos casos ayuda a recordar la regla: entre 0 y 1, el valor de \( b \) estira; mayor que 1, comprime.

Un error frecuente es confundir el efecto de \( b \) dentro del argumento con el efecto de un coeficiente multiplicando toda la funcion, como en \( a \cdot f(x) \), que produce un estiramiento o compresion vertical, no horizontal. Tambien es facil olvidar que el factor de estiramiento horizontal es \( \dfrac{1}{b} \) y no \( b \) directamente, por lo que conviene siempre comprobar la transformacion sustituyendo un punto conocido, como se hizo en el ejemplo anterior.

Antes de aplicar estas reglas conviene repasar el dominio y rango de una funcion, ya que un estiramiento horizontal puede modificar el dominio de la funcion original, aunque el rango permanezca igual.

Identificar estiramientos horizontales permite predecir como se vera la grafica de una funcion transformada sin necesidad de calcular muchos puntos, y es una habilidad que tambien resulta util al estudiar funciones compuestas, donde una funcion se sustituye dentro de otra y el analisis del argumento se vuelve todavia mas relevante.

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