Cómo Resolver Inecuaciones Cuadráticas

Una inecuación cuadrática es una desigualdad que contiene un término al cuadrado, con la forma \( ax^2 + bx + c > 0 \), \( ax^2 + bx + c < 0 \), \( ax^2 + bx + c \ge 0 \) o \( ax^2 + bx + c \le 0 \), donde \( a \ne 0 \). A diferencia de una desigualdad lineal como las que se resuelven al resolver desigualdades lineales en pasos múltiples, la solución de una inecuación cuadrática casi nunca es un solo rayo en la recta numérica. En su lugar, suele ser uno o dos intervalos, porque la gráfica de \( y = ax^2+bx+c \) es una parábola que puede cruzar el eje \(x\) en dos puntos distintos, en uno solo o en ninguno.

El método más confiable combina el álgebra con el análisis del signo de la parábola:

1. Escribe la inecuación con cero en un lado, dejando \( ax^2+bx+c \) comparado con \(0\).
2. Factoriza la expresión cuadrática, o usa la fórmula general si no factoriza fácilmente, para hallar sus raíces.
3. Ubica las raíces en la recta numérica; dividen la recta en intervalos.
4. Elige un valor de prueba dentro de cada intervalo y evalúa el signo de la expresión en ese punto.
5. Selecciona los intervalos cuyo signo cumple la desigualdad original: usa extremos abiertos si es estricta ( \(>\) o \(<\) ) y extremos cerrados si incluye la igualdad ( \(\ge\) o \(\le\) ).

Resuelve \( x^2 - 2x - 3 > 0 \).

El lado derecho ya es cero. Factorizando, \( x^2-2x-3 = (x-3)(x+1) \), así que las raíces son \( x=-1 \) y \( x=3 \). Estos valores dividen la recta numérica en tres intervalos: \( x<-1 \), \( -13 \).

La gráfica confirma lo que muestra la factorización: la parábola abre hacia arriba y corta el eje \(x\) exactamente en las raíces. Es positiva (por encima del eje) fuera de las raíces y negativa entre ellas.

Para no depender solo del dibujo, prueba un valor dentro de cada intervalo en la forma factorizada \( (x-3)(x+1) \):

• En \( x=-2 \): \( (-2-3)(-2+1) = (-5)(-1) = 5 \), resultado positivo.
• En \( x=0 \): \( (0-3)(0+1) = (-3)(1) = -3 \), resultado negativo.
• En \( x=4 \): \( (4-3)(4+1) = (1)(5) = 5 \), resultado positivo.

Como la desigualdad es estricta ( \( >0 \) ), las raíces no forman parte de la solución. La respuesta es \( x<-1 \) o \( x>3 \). Este tipo de resultado, formado por dos rayos separados, puede expresarse como una desigualdad compuesta unida por "o".

Resuelve \( x^2 - 4 \le 0 \).

Factoriza: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), con raíces \( x=-2 \) y \( x=2 \). Como la desigualdad incluye la igualdad ( \(\le\) ), las raíces sí pertenecen a la solución.

La parábola \( y=x^2-4 \) queda por debajo o sobre el eje \(x\) únicamente entre las raíces, así que la solución es el intervalo cerrado \( -2 \le x \le 2 \). Al representar este resultado en una recta numérica, los círculos en \( x=-2 \) y \( x=2 \) se dibujan rellenos, con el mismo criterio que se usa al expresar desigualdades lineales gráficamente y algebraicamente.

• Olvidar que la solución no siempre está "entre las raíces": depende del signo de \(a\) y del sentido de la desigualdad.
• Confundir extremos abiertos y cerrados cuando la desigualdad incluye o no la igualdad.
• Probar el signo en un punto que coincide con una raíz en lugar de un valor estrictamente dentro del intervalo.
• Olvidar factorizar por completo, lo que puede ocultar una raíz y dar un intervalo incorrecto.

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