Ecuación de la Recta Perpendicular

Dos rectas son perpendiculares cuando se cruzan formando un ángulo de exactamente 90 grados. En álgebra, esta idea geométrica se traduce en una relación muy sencilla entre las pendientes de las dos rectas. Antes de continuar, conviene tener claro cómo se escribe la ecuación de una recta lineal, ya que la ecuación de la recta perpendicular se construye a partir de esos mismos conceptos: pendiente y punto de paso.

Si una recta tiene pendiente \( m_1 \) y otra recta es perpendicular a ella, su pendiente \( m_2 \) cumple siempre lo siguiente:

\( m_1 \cdot m_2 = -1 \)

Despejando \( m_2 \), obtenemos la regla práctica que usarás en casi todos los ejercicios:

\( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \)

Esto significa que la pendiente de la recta perpendicular es el reciproco de la pendiente original, pero con el signo cambiado. Por ejemplo, si una recta tiene pendiente \( \dfrac{2}{3} \), la recta perpendicular a ella tiene pendiente \( -\dfrac{3}{2} \). Este comportamiento es justo lo opuesto de lo que ocurre con las rectas paralelas, donde ambas comparten la misma pendiente; puedes repasar esa idea en la lección sobre la ecuación de la línea paralela para notar la diferencia con claridad.

Para comprobar si dos rectas dadas son perpendiculares, sigue estos pasos:

1. Escribe cada ecuación en la forma pendiente-intercepto \( y = mx + b \) si no está ya en esa forma.
2. Identifica la pendiente \( m_1 \) de la primera recta y \( m_2 \) de la segunda.
3. Multiplica ambas pendientes. Si el resultado es \( -1 \), las rectas son perpendiculares.

Por ejemplo, si \( m_1 = 4 \) y \( m_2 = -\dfrac{1}{4} \), entonces \( m_1 \cdot m_2 = 4 \times \left(-\dfrac{1}{4}\right) = -1 \), así que las rectas sí son perpendiculares.

Para escribir la ecuación de una recta perpendicular a otra recta dada, y que además pase por un punto específico \( (x_1, y_1) \), sigue este procedimiento:

1. Encuentra la pendiente \( m_1 \) de la recta dada.
2. Calcula la pendiente perpendicular con \( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \).
3. Sustituye \( m_2 \) y el punto \( (x_1, y_1) \) en la forma punto pendiente: \( y - y_1 = m_2 (x - x_1) \).
4. Despeja \( y \) para dejar la ecuación en la forma pendiente-intercepto, si así se solicita.

Encuentra la ecuación de la recta perpendicular a \( y = 3x - 2 \) que pasa por el punto \( (6, 4) \).

Paso 1: la pendiente de la recta dada es \( m_1 = 3 \).

Paso 2: la pendiente perpendicular es \( m_2 = -\dfrac{1}{3} \).

Paso 3: usando el punto \( (6, 4) \) en la forma punto pendiente:

\( y - 4 = -\dfrac{1}{3}(x - 6) \)

Paso 4: despejando \( y \):

\( y = -\dfrac{1}{3}x + 2 + 4 \)

\( y = -\dfrac{1}{3}x + 6 \)

Esa es la ecuación de la recta perpendicular buscada.

Existe un caso particular que no sigue la fórmula \( m_2 = -\dfrac{1}{m_1} \) de forma directa: cuando una recta es horizontal, su pendiente es \( 0 \), y no se puede dividir entre cero. En ese caso, la recta perpendicular a una recta horizontal es siempre una línea vertical, es decir, una ecuación de la forma \( x = k \). De igual manera, la recta perpendicular a una línea vertical es siempre una línea horizontal. Vale la pena revisar por separado ambos casos especiales antes de aplicar la regla general, ya que se resuelven de forma distinta al resto de los ejemplos.

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