Multiplicar y Dividir Radicales

Si dos radicales tienen el mismo índice \( n \), puedes multiplicarlos combinando los radicandos bajo un solo radical:

\( \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b} \), siempre que \( a \) y \( b \) sean números para los cuales la raíz esté definida.

Por ejemplo, \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{15} \). Si hay coeficientes fuera del radical, se multiplican por separado: \( 2\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{5} = (2 \cdot 4)\sqrt{3 \cdot 5} = 8\sqrt{15} \).

Después de multiplicar, siempre conviene revisar si el radicando tiene un factor que sea una potencia perfecta del índice, porque en ese caso el radical se puede simplificar. Este proceso de simplificación se estudia a fondo en convertir expresiones radicales a expresiones radicales mixtas. Por ejemplo, \( \sqrt{6} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \).

La división de radicales sigue la misma lógica, pero con una fracción dentro del radical:

\( \dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}} \), con \( b \ne 0 \).

Por ejemplo, \( \dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\dfrac{20}{5}} = \sqrt{4} = 2 \). Cuando el cociente dentro del radical no da un número entero limpio, puedes usar esta misma regla al revés, separando un radical grande en dos radicales más pequeños, un proceso relacionado con convertir expresiones radicales a expresiones radicales enteras.

Por convención, una expresión radical no se deja con un radical en el denominador. Si al dividir queda un radical abajo, se multiplica el numerador y el denominador por una forma conveniente de 1 para eliminarlo.

Por ejemplo, para \( \dfrac{6}{\sqrt{3}} \), multiplicas arriba y abajo por \( \sqrt{3} \):

\( \dfrac{6}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3} \).

Este paso funciona porque \( \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3 \), un caso particular de la regla del producto. Cuando el denominador es un binomio con un radical, se usa el conjugado; esa técnica se relaciona con lo que ya conoces de sumar y restar expresiones radicales, donde también es clave identificar radicales semejantes.

Simplifica \( 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{8} \).

Paso 1: multiplica los coeficientes: \( 3 \cdot 5 = 15 \).

Paso 2: multiplica los radicandos: \( \sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4 \).

Paso 3: combina: \( 15 \cdot 4 = 60 \).

Resultado: \( 3\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{8} = 60 \).

Simplifica \( \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} \).

Paso 1: aplica la regla del cociente: \( \sqrt{\dfrac{45}{5}} = \sqrt{9} \).

Paso 2: simplifica la raíz: \( \sqrt{9} = 3 \).

Resultado: \( \dfrac{\sqrt{45}}{\sqrt{5}} = 3 \).

Ten en cuenta que estas reglas solo se aplican directamente cuando los radicales comparten el mismo índice; si trabajas con raíces cúbicas u otros índices, el procedimiento es idéntico pero conviene primero revisar cómo se manejan esos casos, incluyendo su relación con los exponentes racionales.

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