Graficar Recíprocos de Funciones Lineales

Una función lineal tiene la forma \( f(x) = mx + b \), y su gráfica es siempre una línea recta. El recíproco de esta función se obtiene invirtiendo la expresión, es decir, formando \( g(x) = \dfrac{1}{mx + b} \). Aunque la función original es una recta continua, su recíproco es una curva con dos ramas separadas, porque en algún valor de x el denominador se vuelve cero y la función deja de estar definida ahí.

Graficar este tipo de función requiere identificar cuatro elementos clave: la asíntota vertical, la asíntota horizontal, los puntos invariantes y el signo de la función en cada intervalo.

El recíproco no está definido cuando el denominador es cero. Para encontrar ese valor, resuelve la ecuación \( mx + b = 0 \), lo que da \( x = -\dfrac{b}{m} \). Esta recta vertical es la asíntota vertical: la curva se acerca a ella sin tocarla nunca, y las dos ramas del recíproco se ubican a ambos lados de esa línea.

A medida que x crece o decrece sin límite, el valor de \( mx + b \) también crece en magnitud, así que \( \dfrac{1}{mx+b} \) se acerca cada vez más a cero. Por eso, todo recíproco de una función lineal tiene la misma asíntota horizontal: \( y = 0 \), es decir, el eje x. La curva nunca llega a tocar este eje.

Los puntos invariantes son los valores de x donde la función original y su recíproco coinciden exactamente. Esto ocurre solo cuando \( f(x) = 1 \) o \( f(x) = -1 \), porque \( \dfrac{1}{1} = 1 \) y \( \dfrac{1}{-1} = -1 \). Para encontrarlos, resuelve las ecuaciones \( mx + b = 1 \) y \( mx + b = -1 \). Estos dos puntos son excelentes anclas visuales para dibujar la curva con precisión.

El signo del recíproco depende únicamente del signo de la función lineal original, ya que dividir 1 entre un número no cambia su signo. Donde \( mx + b \) es positivo, el recíproco también es positivo y su rama queda por encima del eje x. Donde \( mx + b \) es negativo, la rama correspondiente queda por debajo del eje x.

Considera la función lineal \( f(x) = x - 3 \). Su recíproco es \( g(x) = \dfrac{1}{x - 3} \).

La asíntota vertical aparece en \( x = 3 \), porque ahí \( x - 3 = 0 \). La asíntota horizontal es \( y = 0 \). Para los puntos invariantes, resuelve \( x - 3 = 1 \), que da \( x = 4 \), y \( x - 3 = -1 \), que da \( x = 2 \). En \( x = 4 \) la función vale 1, y en \( x = 2 \) la función vale menos 1. Con estos datos ya se puede trazar ambas ramas: una a la derecha de \( x = 3 \) que baja desde el infinito positivo, y otra a la izquierda que sube desde el infinito negativo.

Ahora usa una pendiente negativa: \( f(x) = -2x + 4 \). Su recíproco es \( g(x) = \dfrac{1}{-2x + 4} \).

La asíntota vertical se ubica donde \( -2x + 4 = 0 \), es decir \( x = 2 \). Los puntos invariantes se obtienen de \( -2x + 4 = 1 \), que da \( x = 1.5 \), y de \( -2x + 4 = -1 \), que da \( x = 2.5 \). Como la pendiente es negativa, la función original decrece, y por eso las ramas del recíproco quedan orientadas al revés respecto al ejemplo anterior: fíjate en cómo cambia la dirección de cada rama comparado con el ejemplo 1.

Sigue este procedimiento general para cualquier función \( f(x) = mx + b \):

Primero, encuentra la asíntota vertical resolviendo \( mx + b = 0 \). Segundo, recuerda que la asíntota horizontal siempre es \( y = 0 \). Tercero, calcula los puntos invariantes resolviendo \( mx + b = 1 \) y \( mx + b = -1 \). Cuarto, determina el signo de \( f(x) \) en cada lado de la asíntota vertical para saber en qué región queda cada rama. Finalmente, dibuja ambas ramas acercándose a las asíntotas sin cruzarlas, pasando por los puntos invariantes que calculaste.

La misma idea de asíntotas y puntos invariantes se extiende a otras familias de funciones. Si ya dominas este método con rectas, el siguiente paso natural es aplicarlo a curvas, como se muestra en Graficando recíprocos de funciones cuadráticas, donde el número de asíntotas verticales y ramas puede cambiar según las raíces de la función original.

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