Sucesiones Geométricas

Una sucesión geométrica es una lista ordenada de números en la que cada término se obtiene multiplicando el término anterior por un número fijo llamado razón común, representado con la letra \( r \). A diferencia de una progresión aritmética, donde se suma siempre la misma cantidad, en una sucesión geométrica se multiplica siempre por el mismo factor.

Por ejemplo, la sucesión \( 3, 6, 12, 24, 48, \ldots \) es geométrica porque cada término es el doble del anterior. Aquí la razón común es \( r = 2 \), ya que \( 6 \div 3 = 2 \), \( 12 \div 6 = 2 \) y así sucesivamente.

Para hallar \( r \) basta con dividir cualquier término entre el término inmediatamente anterior:

\( r = \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \)

Si el resultado es el mismo sin importar qué par de términos consecutivos se elija, entonces la sucesión es geométrica. Si el cociente cambia de un par de términos a otro, la sucesión no es geométrica.

Conociendo el primer término \( a_1 \) y la razón común \( r \), se puede encontrar cualquier término sin escribir toda la lista, usando la fórmula:

\( a_n = a_1 \cdot r^{n-1} \)

Aquí \( n \) indica la posición del término que se busca. Esta fórmula funciona porque el exponente cuenta cuántas veces se ha multiplicado por \( r \) desde el primer término.

Encuentra el sexto término de la sucesión \( 5, 15, 45, 135, \ldots \)

Primero se identifica el primer término: \( a_1 = 5 \). Luego se calcula la razón común dividiendo dos términos consecutivos: \( r = \dfrac{15}{5} = 3 \).

Ahora se sustituye en la fórmula del término general con \( n = 6 \):

\( a_6 = 5 \cdot 3^{6-1} = 5 \cdot 3^5 = 5 \cdot 243 = 1215 \)

El sexto término de la sucesión es \( 1215 \).

Cuando \( r > 1 \), los términos crecen cada vez más rápido, siguiendo un patrón exponencial. La siguiente gráfica muestra el comportamiento de una sucesión donde \( a_1 = 2 \) y \( r = 3 \), es decir \( a_n = 2 \cdot 3^{n-1} \); los puntos marcados representan los primeros términos de la sucesión sobre la curva exponencial que los describe.

Si en cambio \( 0 < r < 1 \), la sucesión decrece y los términos se acercan cada vez más a cero sin llegar a ser negativos, siempre que \( a_1 \) sea positivo.

Una sucesión geométrica es solo la lista de términos. Cuando en lugar de listar los términos se suman todos ellos, se obtiene una serie geométrica. Si esa suma continúa para siempre con \( |r| < 1 \), se trabaja entonces con una serie geométrica infinita, que converge a un valor finito.

Un error frecuente es confundir la razón común con una diferencia, tratando la sucesión como si fuera aritmética. Otro error común es olvidar que el exponente en la fórmula es \( n - 1 \) y no \( n \), lo que produce un desplazamiento en todos los cálculos. Siempre conviene verificar el resultado calculando manualmente los primeros dos o tres términos antes de aplicar la fórmula a posiciones más grandes.

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