Variación Directa

La variación directa describe una relación entre dos variables en la que, cuando una aumenta, la otra aumenta en la misma proporción (y cuando una disminuye, la otra también disminuye proporcionalmente). Esta es una de las formas más simples de la relación entre dos variables que se estudian en álgebra.

Matemáticamente, decimos que \( y \) varía directamente con \( x \) si existe una constante \( k \), distinta de cero, tal que:

\( y = kx \)

Aquí, \( k \) se llama la constante de variación (o constante de proporcionalidad). Esta constante indica cuánto cambia \( y \) por cada unidad que cambia \( x \).

Si conoces un par de valores correspondientes de \( x \) y \( y \), puedes despejar \( k \) dividiendo:

\( k = \dfrac{y}{x} \)

Una vez que conoces \( k \), puedes escribir la ecuación completa \( y = kx \) y usarla para encontrar cualquier otro valor de \( y \) o \( x \) en esa misma relación.

Ejemplo 1

Si \( y \) varía directamente con \( x \), y \( y = 12 \) cuando \( x = 4 \), encuentra la constante de variación y escribe la ecuación.

Sustituimos en \( k = \dfrac{y}{x} \):

\( k = \dfrac{12}{4} = 3 \)

Entonces la ecuación de variación directa es \( y = 3x \).

Ejemplo 2

Usando la misma relación \( y = 3x \), encuentra el valor de \( y \) cuando \( x = 7 \).

Sustituimos directamente en la ecuación:

\( y = 3(7) = 21 \)

Por lo tanto, cuando \( x = 7 \), el valor correspondiente es \( y = 21 \).

Una característica clave de la variación directa es que su gráfica siempre es una línea recta que pasa por el origen \( (0,0) \). Esto tiene sentido porque cuando \( x = 0 \), la ecuación \( y = kx \) da como resultado \( y = 0 \) sin importar el valor de \( k \). Esta propiedad se relaciona directamente con el tema de las relaciones entre los interceptos x y y, ya que en la variación directa ambos interceptos coinciden en el origen.

La pendiente de esta recta es precisamente la constante \( k \). Si \( k \) es positiva, la recta sube de izquierda a derecha; si \( k \) es negativa, la recta baja.

Otra forma de identificar una variación directa es observando una tabla de valores. Si el cociente \( \dfrac{y}{x} \) es el mismo para cada par de valores, entonces la relación es una variación directa.

En este caso, \( \dfrac{5}{2} \), \( \dfrac{10}{4} \), \( \dfrac{15}{6} \) y \( \dfrac{20}{8} \) son todos iguales a \( 2.5 \), así que \( k = 2.5 \) y la ecuación es \( y = 2.5x \).

Ejemplo 3 (problema aplicado)

El costo total de comprar naranjas varía directamente con el número de kilogramos comprados. Si 3 kilogramos cuestan 45 pesos, ¿cuánto costarán 8 kilogramos?

Primero hallamos \( k \):

\( k = \dfrac{45}{3} = 15 \)

La ecuación es \( y = 15x \), donde \( x \) representa los kilogramos. Ahora sustituimos \( x = 8 \):

\( y = 15(8) = 120 \)

Entonces 8 kilogramos de naranjas costarán 120 pesos.

Cada ecuación de variación directa \( y = kx \) también puede interpretarse como una función, donde \( x \) es la variable de entrada y \( y \) es la salida. Si quieres repasar cómo se definen y reconocen las funciones en general, revisa el tema de identificando funciones antes de continuar con problemas más complejos de variación.

• Confundir la variación directa con relaciones lineales que no pasan por el origen, como \( y = kx + b \) con \( b \ne 0 \).
• Olvidar que la constante \( k \) debe ser la misma para todos los pares de valores; si cambia, la relación no es una variación directa.
• Invertir la fórmula y calcular \( \dfrac{x}{y} \) en lugar de \( \dfrac{y}{x} \) al despejar \( k \).

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